Sea A un punto fuera del círculo C, y sean AB y AC las dos tangentes desde A a este círculo C. Sea L una tangente arbitraria a C que corta AB y AC en P y Q. Una línea a través de P paralela a AC corta BC en R. Demuestra que mientras L varía, QR pasa por un punto fijo. :)

Un subconjunto $S$ de $\mathbb N$ es eventualmente lineal si existen $k,N\in\mathbb N$ tal que para $n>N,n\in S\Longleftrightarrow k|n$. Sea $S$ un subconjunto de $\mathbb N$ que es cerrado bajo la adición. Demuestra que $S$ es eventualmente lineal.

$f,g$ son dos permutaciones del conjunto $X=\{1,\dots,n\}$. Decimos que $f,g$ tienen puntos en común si existe un $k\in X$ tal que $f(k)=g(k)$. a) Si $m>\frac{n}{2}$, demuestra que existen $m$ permutaciones $f_{1},f_{2},\dots,f_{m}$ de $X$ tal que para cada permutación $f\in X$, existe un índice $i$ tal que $f,f_{i}$ tienen puntos en común. b) Demuestra que si $m\leq\frac{n}{2}$, no podemos encontrar permutaciones $f_{1},f_{2},\dots,f_{m}$ que satisfagan la condición anterior.

Tenemos un grafo bipartito $G$ (con partes $X$ y $Y$). Orientamos cada arista arbitrariamente. Hessam elige un vértice en cada turno e invierte la orientación de todas las aristas que tienen a $v$ como uno de sus extremos. Demuestra que con estos pasos podemos llegar a un grafo tal que para cada vértice $v$ en la parte $X$, $\deg^{+}(v)\geq \deg^{-}(v)$ y para cada vértice en la parte $Y$, $\deg^{+}v\leq \deg^{-}v$

En una tabla de $m\times n$ hay un policía en la celda $(1,1)$, y hay un ladrón en la celda $(i,j)$. Un movimiento es ir de una celda a un vecino (cada celda tiene como máximo cuatro vecinos). El ladrón hace el primer movimiento, luego el policía se mueve y ... ¿Para qué $(i,j)$ el policía puede atrapar al ladrón?

$H,I,O,N$ son el ortocentro, incentro, circuncentro y punto de Nagel del triángulo $ABC$. $I_{a},I_{b},I_{c}$ son los excentros de $ABC$ correspondientes a los vértices $A,B,C$. $S$ es un punto tal que $O$ es el punto medio de $HS$. Demuestra que el centroide de los triángulos $I_{a}I_{b}I_{c}$ y $SIN$ coinciden.

Sean $M$ y $N$ puntos en el lado $BC$ del triángulo $ABC$, con el punto $M$ ubicado en el segmento $BN$, tal que $BM = CN$. Sean $P$ y $Q$ puntos en los segmentos $AN$ y $AM$, respectivamente, tales que $ \measuredangle PMC =\measuredangle MAB$ y $ \measuredangle QNB =\measuredangle NAC$. Demuestra que $ \measuredangle QBC =\measuredangle PCB$.

Los círculos $C_{1}$ y $C_{2}$ son tangentes entre sí en $K$ y son tangentes al círculo $C$ en $M$ y $N$. La tangente externa de $C_{1}$ y $C_{2}$ interseca a $C$ en $A$ y $B$. $AK$ y $BK$ intersecan al círculo $C$ en $E$ y $F$ respectivamente. Si $AB$ es el diámetro de $C$, demuestra que $EF$ y $MN$ y $OK$ son concurrentes. ( $O$ es el centro del círculo $C$. )

En el triángulo $ABC$, $AD$ es la bisectriz del ángulo ( $D$ está en $BC$) si $AB+AD=CD$ y $AC+AD=BC$, ¿cuáles son los ángulos de $ABC$?

$M$ es el punto medio de $BC$. $P$ es un punto arbitrario en $BC$. $C_{1}$ es tangente al círculo grande. Supongamos que el radio de $C_{1}$ es $r_{1}$ El radio de $C_{4}$ es igual al radio de $C_{1}$ y $C_{4}$ es tangente a $BC$ en P. $C_{2}$ y $C_{3}$ son tangentes al círculo grande y a la línea $BC$ y al círculo $C_{4}$. Demuestra : \[r_{1}+r_{2}+r_{3}=R\] ( $R$ es el radio del círculo grande)