$\omega$ es la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$. Dibujamos una línea paralela a $BC$ que interseca a $AB,AC$ en $E,F$ e interseca a $\omega$ en $U,V$. Asumamos que $M$ es el punto medio de $BC$. Sea $\omega'$ la circunferencia circunscrita de $UMV$. Sabemos que $R(ABC)=R(UMV)$. $ME$ y $\omega'$ se intersecan en $T$, y $FT$ interseca a $\omega'$ en $S$. Demuestra que $EF$ es tangente a la circunferencia circunscrita de $MCS$.

$a_{n}$ ( $n$ es entero) es una secuencia de reales positivos tal que \[a_{n}\geq \frac{a_{n+2}+a_{n+1}+a_{n-1}+a_{n-2}}4\] Demuestra que $a_{n}$ es constante.

$a_{n}$ es una secuencia tal que $a_{1}=1,a_{2}=2,a_{3}=3$ , y \[a_{n+1}=a_{n}-a_{n-1}+\frac{a_{n}^{2}}{a_{n-2}}\] Demuestra que para cada $n$ natural, $a_{n}$ es entero.

$f: \mathbb R\longrightarrow\mathbb R^{+}$ es una función no decreciente. Demuestra que existe un punto $a\in\mathbb R$ tal que \[f(a+\frac1{f(a)})<2f(a)\]

Sean $a,b,c\in\mathbb R^{n}, a+b+c=0$ y $\lambda>0$. Demuestra que \[\prod_{cycle}\frac{|a|+|b|+(2\lambda+1)|c|}{|a|+|b|+|c|}\geq(2\lambda+3)^{3}\]

Sea $P$ un punto en un cuadrado cuyos lados son espejos. Un rayo de luz proviene de $P$ y tiene pendiente $\alpha$. Sabemos que este rayo de luz nunca llega a un vértice. Hacemos una secuencia infinita de $0,1$. Después de cada contacto del rayo de luz con un lado horizontal, ponemos $0$ , y después de cada contacto con un lado vertical, ponemos $1$. Para cada $n\geq 1$ , sea $B_{n}$ el conjunto de todos los bloques de longitud $n$ , en esta secuencia. a) Demuestra que $B_{n}$ no depende de la ubicación de $P$ . b) Demuestra que si $\frac{\alpha}{\pi}$ es irracional, entonces $|B_{n}|=n+1$.

El triángulo $ABC$ es isósceles ( $AB=AC$ ) . Desde $A$ , trazamos una línea $\ell$ paralela a $BC$ . $P,Q$ están en las bisectrices perpendiculares de $AB,AC$ tal que $PQ\perp BC$ . $M,N$ son puntos en $\ell$ tal que los ángulos $\angle APM$ y $\angle AQN$ son $\frac\pi2$ . Demuestra que \[\frac{1}{AM}+\frac1{AN}\leq\frac2{AB}\]

Encuentra todos los polinomios de grado 3, tales que para cada $x,y\geq 0$ : \[p(x+y)\geq p(x)+p(y)\]

$O$ es un punto dentro del triángulo $ABC$ tal que $OA=OB+OC$. Supongamos que $B',C'$ son los puntos medios de los arcos $AOC$ y $AOB$. Demuestra que las circunferencias circunscritas $COC'$ y $BOB'$ son tangentes entre sí.

Supongamos que $n$ líneas en el plano son tales que no hay dos paralelas ni tres concurrentes. Para cada dos líneas, su ángulo es un número real en $[0,\frac{\pi}2]$. Encuentra el valor más grande de la suma de los $\binom n2$ ángulos entre las líneas.