Una hormiga camina sobre la superficie interior de un cubo, se mueve en línea recta. Si la hormiga llega a una arista, entonces se mueve en línea recta en la red del cubo. Además, si llega a un vértice, regresará su camino. a) Demuestra que para cada punto de inicio la hormiga puede tener infinitas opciones para su dirección que su camino se vuelve periódico. b) Demuestra que si la hormiga comienza desde el punto $A$ y su camino es periódico, entonces para cada punto $B$ si la hormiga comienza con esta dirección, entonces su camino se vuelve periódico.

$A,B,C$ están en el círculo $\mathcal C$. $I$ es el incentro de $ABC$, $D$ es el punto medio del arco $BAC$. $W$ es un círculo que es tangente a $AB$ y $AC$ y tangente a $\mathcal C$ en $P$. ( $W$ está en $\mathcal C$ ) Demuestra que $P$ e $I$ y $D$ están en una línea.

Encuentra todos los polinomios $p$ con coeficientes reales tal que si para un $a$ real, $p(a)$ es entero entonces $a$ es entero.

Hace 15000 años, el ministerio Tilif en Persia decidió definir un código para $n\geq2$ ciudades. Cada código es una secuencia de $0,1$ tal que ningún código comienza con otro código. Sabemos que de $2^{m}$ llamadas de países extranjeros a Persia, $2^{m-a_{i}}$ de ellas fueron de la $i$ - ésima ciudad (Entonces $\sum_{i=1}^{n}\frac1{2^{a_{i}}}=1$ ) . Sea $l_{i}$ la longitud del código asignado a la $i$ - ésima ciudad. Demuestra que $\sum_{i=1}^{n}\frac{l_{i}}{2^{i}}$ es mínimo si y sólo si $\forall i,\ l_{i}=a_{i}$

El excírculo del triángulo $ABC$ correspondiente al vértice $A$, es tangente a $BC$ en $P$. $AP$ interseca la circunferencia circunscrita de $ABC$ en $D$. Demuestra que \[r(PCD)=r(PBD)\] donde $r(PCD)$ y $r(PBD)$ son los inradios de los triángulos $PCD$ y $PBD$.

$a_{0}=2,a_{1}=1$ y para $n\geq 1$ sabemos que : $a_{n+1}=a_{n}+a_{n-1}$ $m$ es un número par y $p$ es un número primo tal que $p$ divide a $a_{m}-2$. Demuestra que $p$ divide a $a_{m+1}-1$.

$I$ es el incentro del triángulo $ABC$. El incírculo de $ABC$ toca $AB,AC$ en $X,Y$. $XI$ interseca al incírculo en $M$. Sea $CM\cap AB=X'$. $L$ es un punto en el segmento $X'C$ tal que $X'L=CM$. Demuestra que $A,L,I$ son colineales si y sólo si $AB=AC$.

Encuentra todas las $f: \mathbb R\longrightarrow\mathbb R$ continuas que para cualquier $x,y$ \[f(x)+f(y)+f(xy)=f(x+y+xy)\]

Encuentra el número natural más pequeño $n$ que satisface la siguiente afirmación: Sea $A$ un subconjunto finito de $\mathbb R^{2}$. Para cada $n$ puntos en $A$ hay dos líneas que incluyen estos $n$ puntos. Todos los puntos se encuentran en dos líneas.

Para $a,b,c$ positivos, \[a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc=4\] Demuestra que $a+b+c \leq3$