Los puntos $A$ y $B$ están en un círculo $\omega$ con centro $O$ tal que $\tfrac{\pi}{3}< \angle AOB <\tfrac{2\pi}{3}$ . Sea $C$ el circuncentro del triángulo $AOB$ . Sea $l$ una línea que pasa por $C$ tal que el ángulo entre $l$ y el segmento $OC$ es $\tfrac{\pi}{3}$ . $l$ corta a las tangentes en $A$ y $B$ a $\omega$ en $M$ y $N$ respectivamente. Supón que las circunferencias circunscritas de los triángulos $CAM$ y $CBN$ , cortan a $\omega$ de nuevo en $Q$ y $R$ respectivamente y a sí mismas en $P$ (distinto de $C$ ) . Demuestra que $OP\perp QR$ .

Para reales positivos $a,b$ y $c$ con $ab+bc+ca=1$ , muestra que\n\[\sqrt{3}({\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\le \frac{a\sqrt{a}}{bc}+\frac{b\sqrt{b}}{ca}+\frac{c\sqrt{c}}{ab}.}\]

Supón que $ABCD$ es un paralelogramo. Considera los círculos $w_1$ y $w_2$ tales que $w_1$ es tangente a los segmentos $AB$ y $AD$ y $w_2$ es tangente a los segmentos $BC$ y $CD$ . Supón que existe un círculo que es tangente a las líneas $AD$ y $DC$ y externamente tangente a $w_1$ y $w_2$ . Demuestra que existe un círculo que es tangente a las líneas $AB$ y $BC$ y también externamente tangente a los círculos $w_1$ y $w_2$ .

Sea $g(x)$ un polinomio de grado al menos $2$ con todos sus coeficientes positivos. Encontrar todas las funciones $f:\mathbb R^+ \longrightarrow \mathbb R^+$ tales que\n\[f(f(x)+g(x)+2y)=f(x)+g(x)+2f(y) \quad \forall x,y\in \mathbb R^+.\]

¿Es posible poner $\binom{n}{2}$ números naturales consecutivos en las aristas de un grafo completo con $n$ vértices de forma que para cada camino (o ciclo) de longitud $3$ donde los números $a,b$ y $c$ están escritos en sus aristas (la arista $b$ está entre las aristas $c$ y $a$ ) , $b$ es divisible por el máximo común divisor de los números $a$ y $c$ ?

El pentágono $ABCDE$ está inscrito en un círculo $w$ . Supón que $w_a,w_b,w_c,w_d,w_e$ son reflexiones de $w$ con respecto a los lados $AB,BC,CD,DE,EA$ respectivamente. Sea $A'$ el segundo punto de intersección de $w_a,w_e$ y define $B',C',D',E'$ similarmente. Demuestra que\n\[2\le \frac{S_{A'B'C'D'E'}}{S_{ABCDE}}\le 3,\]\ndonde $S_X$ denota la superficie de la figura $X$ .

La función $f:\mathbb R^{\ge 0} \longrightarrow \mathbb R^{\ge 0}$ satisface las siguientes propiedades para todo $a,b\in \mathbb R^{\ge 0}$ :\na) $f(a)=0 \Leftrightarrow a=0$\nb) $f(ab)=f(a)f(b)$\nc) $f(a+b)\le 2 \max \{f(a),f(b)\} $. Demuestra que para todo $a,b\in \mathbb R^{\ge 0}$ tenemos $f(a+b)\le f(a)+f(b)$ .

Considera $m+1$ líneas horizontales y $n+1$ líneas verticales ( $m,n\ge 4$ ) en el plano formando una tabla de $m\times n$. Considera un camino cerrado en los segmentos de esta tabla tal que no se interseca a sí mismo y también pasa por todos los $(m-1)(n-1)$ vértices interiores (cada vértice es un punto de intersección de dos líneas) y no pasa por ninguno de los vértices exteriores. Supón que $A$ es el número de vértices tales que el camino pasa a través de ellos directamente, $B$ es el número de cuadrados de la tabla que sólo dos de sus lados opuestos son usados en el camino, y $C$ es el número de cuadrados de la tabla que ninguno de sus lados es usado en el camino. Demuestra que\n\[A=B-C+m+n-1.\]

En el triángulo $\triangle ABC$ los puntos $M,N$ están en $BC$ tal que: $\angle BAM= \angle MAN= \angle NAC$. Los puntos $P,Q$ están en la bisectriz del ángulo $BAC$, en el mismo lado de $BC$ que $A$, tal que:\n\n$$\frac{1}{3} \angle BAC = \frac{1}{2} \angle BPC = \angle BQC$$\n\nSean $E = AM \cap CQ$ y $F = AN \cap BQ$. Pruebe que las tangentes comunes a $(EPF), (EQF)$ y la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC$, son concurrentes.

En el triángulo $\triangle ABC$, $M$ es el punto medio del arco $(BAC)$ y $N$ es la antípoda de $A$ en $(ABC)$. La línea que pasa por $B$ perpendicular a $AM$, intersecta $AM , (ABC)$ en $D,P$ respectivamente y una línea que pasa por $D$ perpendicular a $AC$, intersecta $BC,AC$ en $F,E$ respectivamente. Pruebe que $PE,MF,ND$ son concurrentes.