En un cuadrilátero $ABCD$ sean $A', B', C'$ y $D'$ los circuncentros de los triángulos $BCD, CDA, DAB$ y $ABC$ , respectivamente. Denotemos por $S(X, YZ)$ el plano que pasa por el punto $X$ y es perpendicular a la recta $YZ.$ Demuestre que si $A', B', C'$ y $D'$ no se encuentran en un plano, entonces cuatro planos $S(A, C'D'), S(B, A'D'), S(C, A'B')$ y $S(D, B'C')$ pasan por un punto común.

Sea $n \geq 0$ un entero. Demuestre que \[ \lceil \sqrt n +\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2} \rceil = \lceil \sqrt{9n+8} \rceil\] Donde $\lceil x \rceil $ es el entero más pequeño que es mayor o igual a $x.$

Demuestre que cada entero positivo es una suma de uno o más números de la forma $2^r3^s,$ donde $r$ y $s$ son enteros no negativos y ningún sumando divide a otro. (Por ejemplo, $23=9+8+6.)$

Sea $O$ el circuncentro del triángulo acutángulo $ABC$ . Supón que los puntos $A',B'$ y $C'$ están en los lados $BC,CA$ y $AB$ tales que las circunferencias circunscritas de los triángulos $AB'C',BC'A'$ y $CA'B'$ pasan por $O$ . Sea $\ell_a$ el eje radical del círculo con centro $B'$ y radio $B'C$ y el círculo con centro $C'$ y radio $C'B$ . Define $\ell_b$ y $\ell_c$ similarmente. Demuestra que las líneas $\ell_a,\ell_b$ y $\ell_c$ forman un triángulo tal que su ortocentro coincide con el ortocentro del triángulo $ABC$ .

Sea $n$ un número natural. Supón que $A$ y $B$ son dos conjuntos, cada uno conteniendo $n$ puntos en el plano, tales que no hay tres puntos de un conjunto que sean colineales. Sea $T(A)$ el número de líneas quebradas, cada una conteniendo $n-1$ segmentos, y tales que no se intersecta a sí misma y sus vértices son puntos de $A$ . Define $T(B)$ similarmente. Si los puntos de $B$ son vértices de un $n$ -ágono convexo (están en posición convexa ), pero los puntos de $A$ no lo están, demuestra que $T(B)<T(A)$ .

Supón que $p$ es un número primo impar. Llamamos al polinomio $f(x)=\sum_{j=0}^n a_jx^j$ con coeficientes enteros $i$ - residuo si $ \sum_{p-1|j,j>0}a_{j}\equiv i\pmod{p}$ . Demuestra que el conjunto $\{f(0),f(1),...,f(p-1)\}$ es un sistema completo de residuos módulo $p$ si y sólo si los polinomios $f(x), (f(x))^2,...,(f(x))^{p-2}$ son $0$ - residuo y el polinomio $(f(x))^{p-1}$ es $1$ - residuo.

Encontrar todos los números enteros $x$ e $y$ tales que:\n\[(y^3+xy-1)(x^2+x-y)=(x^3-xy+1)(y^2+x-y).\]

¿Existen $2000$ números reales (no necesariamente distintos) tales que no todos son cero y si ponemos cualquier grupo conteniendo $1000$ de ellos como las raíces de un polinomio mónico de grado $1000$ , los coeficientes del polinomio resultante (excepto el coeficiente de $x^{1000}$ ) son una permutación de los $1000$ números restantes?

Considera un $2^k$ -ágono regular con centro $O$ y etiqueta sus lados en sentido horario por $l_1,l_2,...,l_{2^k}$ . Refleja $O$ con respecto a $l_1$ , luego refleja el punto resultante con respecto a $l_2$ y haz este proceso hasta el último lado. Demuestra que la distancia entre el punto final y $O$ es menor que el perímetro del $2^k$ -ágono.

Llamamos a un subconjunto $B$ de números naturales leal si existen números naturales $i\le j$ tales que $B=\{i,i+1,\ldots,j\}$ . Sea $Q$ el conjunto de todos los conjuntos leales. Para cada subconjunto $A=\{a_1<a_2<\ldots<a_k\}$ de $\{1,2,\ldots,n\}$ definimos\n\[f(A)=\max_{1\le i \le k-1}{a_{i+1}-a_i}\qquad\text{y}\qquad g(A)=\max_{B\subseteq A, B\in Q} |B|.\]\nAdemás, definimos\n\[F(n)=\sum_{A\subseteq \{1,2,\ldots,n\}} f(A)\qquad\text{y}\qquad G(n)=\sum_{A\subseteq \{1,2,\ldots,n\}} g(A).\]\nDemuestra que existe $m\in \mathbb N$ tal que para cada número natural $n>m$ tenemos $F(n)>G(n)$ . (Por $|A|$ nos referimos al número de elementos de $A$ , y si $|A|\le 1$ , definimos $f(A)$ como cero).