3 Encuentra todos los enteros positivos \(N\) tales que existe un triángulo que puede ser diseccionado en \(N\) cuadriláteros semejantes. Propuesto por Nikolai Beluhov (Bulgaria) y Morteza Saghafian

4 Sea $\omega$ el circuncírculo del triángulo rectángulo $ABC$ ( $\angle A = 90^{\circ}$ ). La tangente a $\omega$ en el punto $A$ corta a la recta $BC$ en el punto $P$. Supón que $M$ es el punto medio del arco menor $AB$, y que $PM$ corta a $\omega$ por segunda vez en $Q$. La tangente a $\omega$ en el punto $Q$ corta a $AC$ en $K$. Demuestra que $\angle PKC = 90^{\circ}$. Propuesto por Davood Vakili

5. Sean las circunferencias $\omega$ y $\omega'$ que se intersecan en los puntos $A$ y $B$. La tangente a $\omega$ en $A$ interseca a $\omega'$ en $C$, y la tangente a $\omega'$ en $A$ interseca a $\omega$ en $D$. Supón que la bisectriz interna del ángulo $\angle CAD$ interseca a $\omega$ y $\omega'$ en $E$ y $F$, respectivamente, y que la bisectriz externa del ángulo $\angle CAD$ interseca a $\omega$ y $\omega'$ en $X$ y $Y$, respectivamente. Demuestra que la mediatriz de $XY$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $BEF$. Propuesto por Mahdi Etesami Fard.

1. Sean los círculos $\omega$ y $\omega^\prime$ que se intersecan en $A$ y $B$. La tangente al círculo $\omega$ en $A$ interseca a $\omega^\prime$ en $C$, y la tangente al círculo $\omega^\prime$ en $A$ interseca a $\omega$ en $D$. Supón que $CD$ interseca a $\omega$ y $\omega^\prime$ en $E$ y $F$, respectivamente (asume que $E$ está entre $F$ y $C$). La perpendicular a $AC$ desde $E$ interseca a $\omega^\prime$ en el punto $P$, y la perpendicular a $AD$ desde $F$ interseca a $\omega$ en el punto $Q$ (los puntos $A$, $P$ y $Q$ están del mismo lado de la línea $CD$). Demuestra que los puntos $A$, $P$ y $Q$ son colineales. Propuesto por Mahdi Etesami Fard.

4 Sea $ ABCDE$ un pentágono convexo tal que $ AB+CD=BC+DE$ y $ k$ un círculo con centro en el lado $ AE$ que toca a los lados $ AB$ , $ BC$ , $ CD$ y $ DE$ en los puntos $ P$ , $ Q$ , $ R$ y $ S$ (diferentes de los vértices del pentágono) respectivamente. Demuestre que las rectas $ PS$ y $ AE$ son paralelas.

G1 Sean $A$, $B$ y $C$ puntos sobre una circunferencia $\Gamma$ con centro $O$. Supón que $\angle ABC > 90$. Sea $D$ el punto de intersección de la recta $AB$ con la recta perpendicular a $AC$ en $C$. Sea $l$ la recta que pasa por $D$ y es perpendicular a $AO$. Sea $E$ el punto de intersección de $l$ con la recta $AC$, y sea $F$ el punto de intersección de $\Gamma$ con $l$ que queda entre $D$ y $E$. Demuestra que las circunferencias circunscritas de los triángulos $BFE$ y $CFD$ son tangentes en $F$.

Sea $A$ el conjunto de todos los polinomios $f(x)$ de grado $3$ con coeficientes enteros y coeficiente cúbico $1$, tales que para cada $f(x)$ existe un número primo $p$ que no divide a $2004$ y un número $q$ coprimo con $p$ y con $2004$, de modo que $f(p)=2004$ y $f(q)=0$. Demuestra que existe un subconjunto infinito $B\subset A$, tal que las gráficas de las funciones de los miembros de $B$ son idénticas salvo traslaciones.

¿Existe un círculo y un conjunto infinito de puntos sobre él tal que la distancia entre cualesquiera dos de los puntos sea racional?

2 Se da una figura plana de área $A > n$, donde $n$ es un entero positivo. Demuestra que esta figura puede colocarse sobre un plano cartesiano de modo que cubra al menos $n+1$ puntos con coordenadas enteras.

3 Sean $a,b,c\not= 0$ y $x,y,z\in\mathbb{R}^+$ tales que $x+y+z=3$. Demuestra que \[\frac{3}{2}\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}\geq\frac{x}{1+a^2}+\frac{y}{1+b^2}+\frac{z}{1+c^2}\]