1 $x$ , $y$ y $z$ son reales positivos tales que $x+y+z=xyz$ . Halle el valor mínimo de: \[ x^7(yz-1)+y^7(zx-1)+z^7(xy-1) \]

11 Encuentra todos los enteros positivos \(n\) para los cuales el número \(1!+2!+3!+\cdots+n!\) es una potencia perfecta de un entero.

Trece marcianos, un venusiano y un humano residen en Plutón. Un día hacen la siguiente conversación: Marciano: He pasado $1/12$ de mi vida en Plutón. Humano: Yo también. Venusiano: Yo también. Marciano: Pero el venusiano y yo hemos pasado mucho más tiempo aquí que tú, humano. Humano: Eso es cierto. Sin embargo, el venusiano y yo tenemos la misma edad. Venusiano: Sí, he vivido $300$ años terrestres. Marciano: El venusiano y yo hemos estado en Plutón durante los últimos $13$ años. Se sabe que el humano y el marciano juntos han vivido $104$ años terrestres. Encuentra las edades del marciano, el venusiano y el humano.* * *: Nota que los números en el problema no están necesariamente en base $10.$ Amir

16 Sabiendo que el sistema \[x + y + z = 3,\] \[x^3 + y^3 + z^3 = 15,\] \[x^4 + y^4 + z^4 = 35,\] tiene una solución real $x, y, z$ para la cual $x^2 + y^2 + z^2 < 10$, encuentra el valor de $x^5 + y^5 + z^5$ para esa solución. Amir

Nota que $8^3 - 7^3 = 169 = 13^2$ y $13 = 2^2 + 3^2.$ Demuestra que si la diferencia entre dos cubos consecutivos es un cuadrado, entonces es el cuadrado de la suma de dos cuadrados consecutivos. Amir

6. Sean construidos cuadrados sobre los lados $BC,CA,AB$ de un triángulo $ABC$, todos hacia el exterior del triángulo, y sean $A_1,B_1,C_1$ sus centros. Partiendo del triángulo $A_1B_1C_1$ se obtiene análogamente un triángulo $A_2B_2C_2$. Si $S, S_1, S_2$ denotan las áreas de los triángulos $ABC, A_1B_1C_1, A_2B_2C_2$, respectivamente, demuestra que $S = 8S_1 - 4S_2.$ Amir

4 Sea $x_n=2^{2^{n}}+1$ y sea $m$ el mínimo común múltiplo de $x_2, x_3, \ldots, x_{1971}.$ Encuentra el último dígito de $m.$ Amir

2 Halle todos los enteros no negativos $m$ y $n$ tales que $(2^n-1) \cdot (3^n-1)=m^2$ .

2 Sea $s(n)= \sum_{d|n} d$ la suma de los divisores de un entero positivo $n$ (incluyendo $1$ y $n$). Si $n$ tiene a lo más $5$ divisores primos distintos, demuestra que $s(n) < \frac{77}{16} n.$ También demuestra que existe un número natural $n$ para el cual se cumple $s(n) < \frac{76}{16} n.$ Amir

1 Los puntos $S(i, j)$ con coordenadas cartesianas enteras $0 < i \leq n, 0 < j \leq m, m \leq n$, forman una retícula. Encuentra el número de: (a) rectángulos con vértices en la retícula y lados paralelos a los ejes coordenados; (b) cuadrados con vértices en la retícula y lados paralelos a los ejes coordenados; (c) cuadrados en total, con vértices en la retícula. Amir