Encuentre todas las soluciones enteras positivas $ x, y, z$ de la ecuación $ 3^x + 4^y = 5^z.$

a) ¿Existen rectángulos de $1\times \dfrac12$ rectángulos ubicados estrictamente dentro del interior de un cuadrado unitario? b) Encuentre el número mínimo de triángulos equiláteros de lado unitario que pueden cubrir completamente un cuadrado unitario.

Sea $A_1A_2A_3A_4$ un tetraedro. Considere la esfera centrada en $A_1$ que es tangente a la cara $A_2A_3A_4$ del tetraedro. Demuestre que el área de la superficie de la parte de la esfera que está dentro del tetraedro es menor que el área del triángulo $A_2A_3A_4$ .

Sean $a,b,c\in \mathbb{R}$ con $a^2+b^2+c^2=1$ y $\lambda\in \mathbb{R}_{>0}\setminus\{1\}$ . Entonces para cada solución $(x,y,z)$ del sistema de ecuaciones: $$\n\begin{cases}\nx-\lambda y=a,\\\ny-\lambda z=b,\\\nz-\lambda x=c.\n\end{cases}\n$$ tenemos $\displaystyle x^2+y^2+z^2\leqslant \frac1{(\lambda-1)^2}$ .

Para cada $n\in \mathbb{Z}_{>0}$ sea $a_n$ el entero más cercano a $\sqrt{n}$ . Calcule el término general de la secuencia: $(b_n)_{n\geqslant 1}$ con $$\nb_n=\sum_{k=1}^{n^2} a_k.$$\n

Determine el polinomio $P\in \mathbb{R}[x]$ para el cual existe $n\in \mathbb{Z}_{>0}$ tal que para todo $x\in \mathbb{Q}$ tenemos: $$\nP\left(x+\frac1n\right)+P\left(x-\frac1n\right)=2P(x).$$\n

Si $n>2$ es un entero positivo, calcule $$ \max_{1\leqslant k\leqslant n}\max_{n_1+...+n_k=n} \binom{n_1}{2}\binom{n_2}{2}\ldots\binom{n_k}{2}.$$\n

¿De cuántas maneras podemos llenar las celdas de un tablero de $m\times n$ con $+1$ y $-1$ tal que el producto de los números en cada fila y en cada columna sean todos iguales a $-1$ ?

Dé un ejemplo de un polinomio de segundo grado $P\in \mathbb{R}[x]$ tal que $$ \forall x\in \mathbb{R}\text{ con } |x|\leqslant 1: ; \left|P(x)+\frac{1}{x-4}\right| \leqslant 0.01.$$ ¿Existen polinomios lineales con esta propiedad?

Sea $M_n$ el conjunto de permutaciones $\sigma\in S_n$ para las cuales existe $\tau\in S_n$ tal que los números $$ \sigma (1)+\tau(1),\, \sigma(2)+\tau(2),\ldots,\sigma(n)+\tau(n),$$ son consecutivos. Demuestre que $((M_n\neq \emptyset\Leftrightarrow n\text{ es impar}))$ y en este caso para cada $\sigma_1,\sigma_2\in M_n$ la siguiente igualdad se cumple: $$ \sum_{k=1}^n k\sigma_1(k)=\sum_{k=1}^n k\sigma_2(k).$$\n