Un círculo con centro $O$ es internamente tangente a dos círculos dentro de él en los puntos $S$ y $T$ . Suponga que los dos círculos interiores se intersecan en $M$ y $N$ con $N$ más cerca de $ST$ . Demuestre que $OM$ y $MN$ son perpendiculares si y solo si $S,N, T$ son colineales.

Sea $n$ un entero positivo y $A$ un conjunto que contiene $8n + 1$ enteros positivos coprimos con $6$ y menores que $30n$ . Demuestre que existen $a, b \in A$ dos números diferentes tales que $a$ divide a $b$ .

Determine los enteros positivos $a$ y $b$ coprimos tales que $a^2+b = (a-b)^3$ .

En cada cuadrado unitario de una tabla de $ n \times n$ ( $n \ge 11$ ) se escribe un número real, de tal manera que la suma de los números en cualquier cuadrado de $10 \times 10$ es positiva y la suma de los números en cualquier cuadrado de $11\times 11$ es negativa. Determine todos los valores posibles para $n$

Sea $d$ la tangente en $B$ a la circunferencia circunscrita del triángulo escaleno agudo $ABC$ . Sea $K$ la proyección ortogonal del ortocentro, $H$ , del triángulo $ABC$ a la línea $d$ y $L$ el punto medio del lado $AC$ . Demuestre que el triángulo $BKL$ es isósceles.

Sea $n$ un entero no negativo y $M =\{n^3, n^3+1, n^3+2, ..., n^3+n\}$ . Considere $A$ y $B$ dos subconjuntos no vacíos y disjuntos de $M$ tales que la suma de los elementos del conjunto $A$ divide a la suma de los elementos del conjunto $B$ . Demuestre que el número de elementos del conjunto $A$ divide al número de elementos del conjunto $B$ .

Ana y Bogdan juegan el siguiente juego por turnos: Ana comienza con una pila de $n$ ( $n \ge 3$ ) piedras. En su turno, cada jugador tiene que dividir una pila. El ganador es el jugador que puede hacer que en su turno todas las pilas tengan como máximo dos piedras. Dependiendo de $n$ , determine qué jugador tiene una estrategia ganadora.

Sea $ABC$ un triángulo, $I$ el incentro, $D$ el punto de contacto de la circunferencia inscrita con el lado $BC$ y $E$ el pie de la bisectriz del ángulo $A$ . Si $M$ es el punto medio del arco $BC$ que contiene el punto $A$ de la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ y $\{F\} = DI \cap AM$ , demuestre que $MI$ pasa por el punto medio de $[EF]$ .

Encuentre el valor máximo de: $E(a,b)=\frac{a+b}{(4a^2+3)(4b^2+3)}$ Para $a,b$ números reales.

Sea $n$ un entero positivo dado. Determine todos los divisores positivos $d$ de $3n^2$ tales que $n^2 + d$ sea el cuadrado de un entero.