Si $a, b, c$ son números reales tales que a $b + bc + ca = 0$ , demuestre la desigualdad $$2(a^2 + b^2 + c^2)(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2) \ge 27a^2b^2c^2$$ ¿Cuándo se cumple la igualdad ?

Los números del $1$ al $100$ están escritos en algún orden en un círculo. Llamamos a un par de números en el círculo 'bueno' si los dos números no son vecinos en el círculo y si al menos uno de los dos arcos que determinan en el círculo solo contiene números menores que ambos. ¿Cuál puede ser el número total de pares 'buenos' en el círculo?

En el triángulo agudo $ABC$ el punto $I$ es el incentro, $O$ es el circuncentro, mientras que $I_a$ es el excentro opuesto al vértice $A$ . El punto $A'$ es la reflexión de $A$ a través de la línea $BC$ . Demuestre que los ángulos $\angle IOI_a$ y $\angle IA'I_a$ son iguales.

Sean $a, b, c, d \ge 0$ tales que $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 4$ . Demuestre que $$\frac{a + b + c + d}{2} \ge 1 + \sqrt{abcd}$$ ¿Cuándo se cumple la igualdad?

Para un entero positivo $m$ denotamos por $\tau (m)$ el número de sus divisores positivos, y por $\sigma (m)$ su suma. Determine todos los enteros positivos $n$ para los cuales $n \sqrt{ \tau (n) }\le \sigma(n)$

Sea $n$ un entero positivo. $2n+1$ fichas están en una fila, cada una de ellas es negra o blanca. Se dice que una ficha está balanceada si el número de fichas blancas a su izquierda más el número de fichas negras a su derecha es $n$ . Determine si el número de fichas balanceadas es par o impar.

Números reales $a,b,c,d$ tales que $|a|>1$ , $|b|>1$ , $|c|>1$ , $|d|>1$ y $ab(c+d)+dc(a+b)+a+b+c+d=0$ entonces demuestre que $\frac{1}{a-1}+\frac{1}{b-1}+\frac{1}{c-1}+\frac{1}{d-1} >0$

Sea $O$ el circuncentro de un triángulo acutángulo $ABC$ con ${\angle B<\angle C}$ . La línea $AO$ se encuentra con el lado $BC$ en $D$ . Los circuncentros de los triángulos $ABD$ y $ACD$ son $E$ y $F$ , respectivamente. Extienda los lados $BA$ y $CA$ más allá de $A$ , y elija en las extensiones respectivas los puntos $G$ y $H$ tales que ${AG=AC}$ y ${AH=AB}$ . Demuestre que el cuadrilátero $EFGH$ es un rectángulo si y solo si ${\angle ACB-\angle ABC=60^{\circ }}$ .

Determine todos los enteros positivos $k$ para los cuales existen enteros positivos $n$ y $m, m\ge 2$ , tales que $3^k + 5^k = n^m$

Sean $a$ y $b$ números reales positivos tales que $3(a^2+b^2-1) = 4(a+b$ ) . Encuentre el valor mínimo de la expresión $\frac{16}{a}+\frac{1}{b}$ .