Los vértices de un prisma están coloreados usando dos colores, de modo que cada arista lateral tiene sus vértices coloreados de forma diferente. Considera todos los segmentos que unen vértices del prisma y no son aristas laterales. Prueba que el número de tales segmentos con extremos de diferente color es igual al número de tales segmentos con extremos del mismo color.

Considera el triángulo rectángulo isósceles $ABC$ , con $\angle A = 90^o$ y el punto $M \in (BC)$ tal que $\angle AMB = 75^o$ . En la bisectriz interior del ángulo $MAC$ toma un punto $F$ tal que $BF = AB$ . Prueba que: a) las líneas $AM$ y $BF$ son perpendiculares; b) el triángulo $CFM$ es isósceles.

Encuentra todos los enteros positivos $p$ con la propiedad de que la suma de los primeros $p$ enteros positivos es un entero positivo de cuatro dígitos cuya descomposición en factores primos es de la forma $2^m3^n(m + n)$ , donde $m, n \in N^*$ .

Considera el triángulo $ABC$ , donde $\angle B= 30^o, \angle C = 15^o$ , y $M$ es el punto medio del lado $[BC]$ . Sea el punto $N \in (BC)$ tal que $[NC] = [AB]$ . Demuestra que $[AN$ es la bisectriz del ángulo $MAC$

Encuentra todos los enteros no negativos $n$ tales que $\sqrt{n + 3}+ \sqrt{n +\sqrt{n + 3}} $ es un entero.

Sea $ m $ un entero no negativo, $ n\ge 2 $ un número natural, $ A $ un anillo que tiene exactamente $ n $ elementos, y un elemento $ a $ de $ A $ tal que $ 1-a^k $ es invertible, para todo $ k\in\{ m+1,m+2,...,m+n-1\} . $ Demuestre que $ a $ es nilpotente.

Encuentre todas las funciones continuas y no decrecientes $ f:[0,\infty)\longrightarrow\mathbb{R} $ que satisfacen la desigualdad: $$ \int_0^{x+y} f(t) dt\le \int_0^x f(t) dt +\int_0^y f(t) dt,\quad\forall x,y\in [0,\infty) . $$

a) Calcule $ \int_{0}^1 x\sin\left( \pi x^2\right) dx. $ b) Calcule $ \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} k\int_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}} \sin\left(\pi x^2\right) dx. $

a) Resuelva la ecuación $ x^2-x+2\equiv 0\pmod 7. $ b) Determine los números naturales $ n\ge 2 $ para los cuales la ecuación $ x^2-x+2\equiv 0\pmod n $ tiene una solución única módulo $ n. $

Sea $ \left( x_n\right)_{n\ge 1} $ una secuencia de números reales del intervalo $ [1,\infty) . $ Suponga que la secuencia $ \left( \left[ x_n^k\right]\right)_{n\ge 1} $ es convergente para todos los números naturales $ k. $ Demuestre que $ \left( x_n\right)_{n\ge 1} $ es convergente. Aquí, $ [\beta ] $ significa el mayor entero menor que $ \beta . $