A2 Sea $\mathcal{A}$ el conjunto de todos los polinomios en tres variables $x, y, z$ con coeficientes enteros. Sea $\mathcal{B}$ el subconjunto de $\mathcal{A}$ formado por todos los polinomios que pueden expresarse como \begin{align*} (x + y + z)P(x, y, z) + (xy + yz + zx)Q(x, y, z) + xyzR(x, y, z) \end{align*} con $P, Q, R \in \mathcal{A}$ . Halle el menor entero no negativo $n$ tal que $x^i y^j z^k \in \mathcal{B}$ para todos los enteros no negativos $i, j, k$ que satisfacen $i + j + k \geq n$ .

A3 Suponga que $a,b,c,d$ son números reales positivos que satisfacen $(a+c)(b+d)=ac+bd$ . Halle el menor valor posible de $$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}.$$ Israel

A4 Los números reales $a, b, c, d$ son tales que $a\geq b\geq c\geq d>0$ y $a+b+c+d=1$ . Demuestre que \[(a+2b+3c+4d)a^ab^bc^cd^d<1\] Propuesto por Stijn Cambie, Belgium

A5 Una maga pretende realizar el siguiente truco. Anuncia al público un entero positivo $n$ , junto con $2n$ números reales $x_1 < \dots < x_{2n}$ . Un miembro del público elige entonces en secreto un polinomio $P(x)$ de grado $n$ con coeficientes reales, calcula los $2n$ valores $P(x_1), \dots , P(x_{2n})$ y escribe estos $2n$ valores en la pizarra en orden no decreciente. Después, la maga anuncia al público el polinomio secreto. ¿Puede la maga hallar una estrategia para realizar tal truco?

A6 Halle todas las funciones $f : \mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ que satisfacen \[f^{a^{2} + b^{2}}(a+b) = af(a) +bf(b)\] para todos los enteros $a$ y $b$

A7 Sean $n$ y $k$ enteros positivos. Demuestre que para $a_1, \dots, a_n \in [1,2^k]$ se tiene \[ \sum_{i = 1}^n \frac{a_i}{\sqrt{a_1^2 + \dots + a_i^2}} \le 4 \sqrt{kn}. \]

A8 Sea $R^+$ el conjunto de los números reales positivos. Determine todas las funciones $f:R^+$ $\rightarrow$ $R^+$ tales que para todos los números reales positivos $x$ y $y:$ \[f(x+f(xy))+y=f(x)f(y)+1\] Ukraine

C1 Sea $n$ un entero positivo. Halle el número de permutaciones $a_1$ , $a_2$ , $\dots a_n$ de la sucesión $1$ , $2$ , $\dots$ , $n$ que satisfacen $$a_1 \le 2a_2\le 3a_3 \le \dots \le na_n$$ . Propuesto por United Kingdom

13 Sea $P$ un polinomio de grado $n$ que satisface \[P(k) = \binom{n+1}{k}^{-1} \qquad \text{ for } k = 0, 1, . . ., n.\] Determine $P(n + 1).$ Amir

2 $ P$ es un punto exterior a una circunferencia con centro en $ O$ . Las tangentes a la circunferencia trazadas desde $ P$ tocan la circunferencia en $ A$ y $ B$ . Sea $ Q$ el punto de intersección de $ PO$ y $ AB$ . Sea $ CD$ cualquier cuerda de la circunferencia que pase por $ Q$ . Demuestre que $ \triangle PAB$ y $ \triangle PCD$ tienen el mismo incentro.