Sea $f: [0, \infty) \to [0, \infty)$ una función continua con $f(0)>0$ y que tiene la propiedad $$x-y<f(y)-f(x) \le 0~\forall~0 \le x<y.$$ Demuestra que: $a)$ Existe un único $\alpha \in (0, \infty)$ tal que $(f \circ f)(\alpha)=\alpha.$ $b)$ La sucesión $(x_n)_{n \ge 1},$ definida por $x_1 \ge 0$ y $x_{n+1}=f(x_n)~\forall~n \in \mathbb{N}$ es convergente.

Sea $n$ un número natural impar y $A,B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ dos matrices tales que $(A-B)^2=O_n.$ Demuestra que $\det(AB-BA)=0.$

Sea $n \in \mathbb{N},n \ge 2,$ y $A,B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}).$ Demuestra que existe un número complejo $z,$ tal que $|z|=1$ y $$\Re \left( {\det(A+zB)} \right) \ge \det(A)+\det(B),$$ donde $\Re(w)$ es la parte real del número complejo $w.$

Sea $(a_n)_{n \ge 1}$ una sucesión de números reales positivos tal que la sucesión $(a_{n+1}-a_n)_{n \ge 1}$ es convergente a un número real no nulo. Evalúa el límite $$ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{a_{n+1}}{a_n} \right)^n.$$

Encuentra el número real positivo más pequeño $\lambda$ tal que para cada números $a_1,a_2,a_3 \in \left[0, \frac{1}{2} \right]$ y $b_1,b_2,b_3 \in (0, \infty)$ con $\sum\limits_{i=1}^3a_i=\sum\limits_{i=1}^3b_i=1,$ tenemos $$b_1b_2b_3 \le \lambda (a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3).$$

Sean $a,b,c$ números complejos distintos con $|a|=|b|=|c|=1.$ Si $|a+b-c|^2+|b+c-a|^2+|c+a-b|^2=12,$ demuestra que los puntos de afijos $a,b,c$ son los vértices de un triángulo equilátero.

Sea $n \in \mathbb{N}, n \ge 3.$ $a)$ Demuestra que existen $z_1,z_2,…,z_n \in \mathbb{C}$ tales que $$\frac{z_1}{z_2}+ \frac{z_2}{z_3}+…+ \frac{z_{n-1}}{z_n}+ \frac{z_n}{z_1}=n \mathrm{i}.$$ $b)$ ¿Cuáles son los valores de $n$ para los cuales existen los números complejos $z_1,z_2,…,z_n,$ del mismo módulo, tales que $$\frac{z_1}{z_2}+ \frac{z_2}{z_3}+…+ \frac{z_{n-1}}{z_n}+ \frac{z_n}{z_1}=n \mathrm{i}?$$

Encuentra las funciones $f: \mathbb{R} \to (0, \infty)$ que satisfacen $$2^{-x-y} \le \frac{f(x)f(y)}{(x^2+1)(y^2+1)} \le \frac{f(x+y)}{(x+y)^2+1},$$ para todo $x,y \in \mathbb{R}.$

Sea $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ una sucesión de números reales tal que $$2(a_1+a_2+…+a_n)=na_{n+1}~\forall~n \ge 1.$$ $\textbf{a)}$ Demuestra que la sucesión dada es una progresión aritmética. $\textbf{b)}$ Si $\lfloor a_1 \rfloor + \lfloor a_2 \rfloor +…+ \lfloor a_n \rfloor = \lfloor a_1+a_2+…+a_n \rfloor~\forall~ n \in \mathbb{N},$ demuestra que cada término de la sucesión es un entero.

Sea $H$ el ortocentro del triángulo acutángulo $ABC.$ En el plano del triángulo $ABC$ consideramos un punto $X$ tal que el triángulo $XAH$ es recto e isósceles, teniendo la hipotenusa $AH,$ y $B$ y $X$ están en cada parte de la línea $AH.$ Demuestra que $\overrightarrow{XA}+\overrightarrow{XC}+\overrightarrow{XH}=\overrightarrow{XB}$ si y sólo si $ \angle BAC=45^{\circ}.$