Pruebe para reales $x_1$ , $x_2$ , ....., $x_n$ , $0 < x_k \leq {1\over 2}$ , la desigualdad \[ \left( {n \over x_1 + \dots + x_n} - 1 \right)^n \leq \left( {1 \over x_1} - 1 \right) \dots \left( {1 \over x_n} - 1 \right). \]

¿Se puede hacer la 'pared de ladrillo' (infinita en todas las direcciones) dibujada en la imagen con alambres de longitud $1, 2, 3, \dots$ (cada longitud entera positiva ocurre exactamente una vez)? (Los cables se pueden doblar pero no deben superponerse; el tamaño de un 'ladrillo' es $1\times 2$).

Una tangente $l$ al círculo inscrito en un rombo se encuentra con sus lados $AB$ y $BC$ en los puntos $E$ y $F$ respectivamente. Demuestre que el producto $AE\cdot CF$ es independiente de la elección de $l$.

Sea $d(n)$ el número de divisores positivos de $n$ y sea $e(n)=\left[2000\over n\right]$ para el entero positivo $n$. Pruebe que \[d(1)+d(2)+\dots+d(2000)=e(1)+e(2)+\dots+e(2000).\]

Sea $N$ el conjunto de los enteros positivos. Determinar si existe una función $f: N\to N$ tal que $f(f(n))=2n$, para todo $n$ perteneciente a $N$.

Las circunferencias $c_1$ y $c_2$ son tangentes internamente a la circunferencia $c$ en los puntos $A$ y $B$, respectivamente, como se ve en la figura. La tangente interior común a $c_1$ y $c_2$ toca a estas circunferencias en $P$ y $Q$, respectivamente. Mostrar que las rectas $AP$ y $BQ$ intersecan a la circunferencia $c$ en puntos diametralmente opuestos.

Demostrar que para cualquier entero positivo $x, y, z$ con $xy-z^2 = 1$ uno puede encontrar enteros no negativos $a, b, c, d$ tales que $x = a^2 + b^2, y = c^2 + d^2, z = ac + bd$ . Fijar $z = (2q)!$ para deducir que para cualquier número primo $p = 4q + 1$ , $p$ puede ser representado como la suma de cuadrados de dos enteros.

El círculo $\omega$ se encuentra dentro del círculo $\Omega$ y lo toca internamente en el punto $P$ . Se toma un punto $S$ en $\omega$ y se dibuja la tangente a $\omega$ a través de él. Esta tangente se encuentra con $\Omega$ en los puntos $A$ y $B$ . Sea $I$ el centro de $\omega$ . Hallar el lugar geométrico de los circuncentros de los triángulos $AIB$ .

Dos jugadores juegan un juego. Tienen $n > 2$ montones que contienen $n^{10}+1$ piedras cada uno. Un movimiento consiste en quitar todos los montones menos uno y dividir el montón restante en $n$ montones no vacíos. El jugador que no puede moverse pierde. ¿Quién tiene una estrategia ganadora, el jugador que se mueve primero o su adversario?

Un triángulo rectángulo tiene todos sus lados números racionales y el área $S$. Demuestre que existe un triángulo rectángulo, diferente del original, tal que todos sus lados son números racionales y su área es $S$.