Muchos puntos distintos están marcados en el plano. Un estudiante dibuja todos los segmentos determinados por esos puntos, y luego dibuja una línea r que no pasa por ninguno de los puntos marcados, pero corta exactamente $60$ segmentos dibujados. ¿Cuántos segmentos no fueron cortados por r? Dar todas las posibilidades.

Construya el punto medio de un segmento usando una regla sin marcas y un triseктор que marca en un segmento los dos puntos que dividen el segmento en tres partes iguales.

Se dan seis puntos de modo que no haya tres en la misma línea y que las longitudes de los segmentos determinados por estos puntos sean todas diferentes. Consideramos todos los triángulos que tienen sus vértices en estos puntos. Demuestre que existe un segmento que es a la vez el lado más corto de uno de esos triángulos y el lado más largo de otro.

Dado un triángulo $ABC$, $\angle B= 2 \angle C$, y $\angle A>90^\circ$. Sea $M$ el punto medio de $BC$. La perpendicular a $AC$ en $C$ interseca a $AB$ en $D$. Muestre que $\angle AMB = \angle DMC$

En un triángulo rectángulo $ABC$ tal que $AB = AC$, $M$ es el punto medio de $BC$. Sea $P$ un punto en la bisectriz perpendicular de $AC$, que se encuentra en el semiplano determinado por $BC$ que no contiene a $A$. Las líneas $CP$ y $AM$ se intersecan en $Q$. Calcule los ángulos que forman las líneas $AP$ y $BQ$.

En el plano tenemos $16$ líneas (no paralelas y no concurrentes), tenemos $120$ punto(s) de intersecciones de estas líneas. Sebastián tiene que pintar estos $120$ puntos de manera que en cada línea todos los puntos pintados tengan colores diferentes, encuentre el mínimo (cantidad) de color(es) que Sebastián necesita para pintar estos puntos. Si tenemos $15$ líneas (en esta situación tenemos $105$ puntos), ¿cuál es el mínimo (cantidad) de color(es)?

El barco enemigo ha aterrizado en un tablero de $9\times 9$ que cubre exactamente $5$ cuadrados del tablero, así: La nave es invisible. Cada misil defensivo cubre exactamente un cuadrado y destruye la nave si golpea uno de los $5$ cuadrados que ocupa. Determine el número mínimo de misiles necesarios para destruir la nave enemiga con certeza.

Tenemos una mesa de billar de $8$ metros de largo y $2$ metros de ancho con una sola bola en el centro. Lanzamos la bola en línea recta y, después de recorrer $29$ metros, se detiene en una esquina de la mesa. ¿Cuántas veces golpeó la bola los bordes de la mesa? Nota: Cuando la bola rebota en el borde de la mesa, los dos ángulos que forman su trayectoria con el borde de la mesa son iguales.

Una hormiga, que está en un borde de un cubo de lado $8$, debe viajar sobre la superficie y regresar al punto de partida. Su camino debe contener puntos interiores de las seis caras del cubo y debe visitar sólo una vez cada cara del cubo. Encuentre la longitud del camino que la hormiga puede llevar a cabo y justifique por qué es el camino más corto.

Bob trazó $2003$ puntos verdes en el plano, de modo que todos los triángulos con tres vértices verdes tienen área menor que $1$. Pruebe que los $2003$ puntos verdes están contenidos en un triángulo $T$ de área menor que $4$.