Sea $P(X) = a_n X^n + a_{n-1} X^{n-1} + \cdots + a_1 X + a_0$ un polinomio con coeficientes reales tal que $0 \leqslant a_i \leqslant a_0$ para $i = 1, 2, \ldots, n$ . Demuestra que, si $P(X)^2 = b_{2n} X^{2n} + b_{2n-1} X^{2n-1} + \cdots + b_{n+1} X^{n+1} + \cdots + b_1 X + b_0$ , entonces $4 b_{n+1} \leqslant P(1)^2$ .

Dado cualquier triángulo $ABC$ y cualquier entero positivo $n$ , decimos que $n$ es un número descomponible para el triángulo $ABC$ si existe una descomposición del triángulo $ABC$ en $n$ subtriángulos con cada subtriángulo similar a $\triangle ABC$ . Determine los enteros positivos que son números descomponibles para cada triángulo.

Una sucesión $\{an\}$ de enteros positivos se define por\n\[a_n=\left[ n +\sqrt n + \frac 12 \right] , \qquad \forall n \in \mathbb N\] Determine los enteros positivos que aparecen en la secuencia.

Sea $S = {\frac{\pi^n}{1992^m} | m,n \in \mathbb Z }.$ Demuestre que todo número real $x \geq 0$ es un punto de acumulación de $S.$

Sea $\{A_n | n = 1, 2, \cdots \} $ un conjunto de puntos en el plano tal que para cada $n$ , el disco con centro $A_n$ y radio $2^n$ no contiene ningún otro punto $A_j$ . Para cualquier número real positivo dado $a < b$ y $R$ , demuestre que existe un subconjunto $G$ del plano que satisface: (i) el área de $G$ es mayor o igual que $R$ ; (ii) para cada punto $P$ en $G$ , $a < \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{|A_nP|} <b.$

En una escuela se imparten seis cursos diferentes: matemáticas, física, biología, música, historia, geografía. Se requirió a los estudiantes que clasificaran estos cursos de acuerdo con sus preferencias, donde se permitieron preferencias iguales. Resultó que: (i) las matemáticas se clasificaron entre los cursos más preferidos por todos los estudiantes; (ii) ningún estudiante clasificó la música entre los menos preferidos; (iii) todos los estudiantes prefirieron la historia a la geografía y la física a la biología; y (iv) no hubo dos clasificaciones iguales. Encuentre el mayor valor posible para el número de estudiantes en esta escuela.

Los vértices de un polígono regular de $N$ lados están marcados en la pizarra. Ana y Beto juegan alternativamente, Ana comienza. Cada jugador, en su turno, debe hacer lo siguiente: $\bullet$ unir dos vértices con un segmento, sin cortar otro segmento ya marcado; o $\bullet$ eliminar un vértice que no pertenezca a ningún segmento marcado. El jugador que no pueda realizar ninguna acción en su turno pierde el juego. Determine cuál de los dos jugadores puede garantizar la victoria: a) si $N=28$ b) si $N=29$

Sea $ABCD$ un cuadrado, $E$ un punto en el lado $CD$, y $F$ un punto dentro del cuadrado tal que el triángulo $BFE$ es isósceles y $\angle BFE = 90^o$. Si $DF=DE$, encuentre la medida del ángulo $\angle FDE$.

Si tiene $65$ puntos en un plano, haremos las líneas que pasan por dos puntos cualesquiera en este plano y obtendremos exactamente $2015$ líneas distintas, pruebe que al menos $4$ puntos son colineales!

Sea $ABCDEFGHI$ un polígono regular de $9$ lados. Los segmentos $AE$ y $DF$ se intersecan en $P$. Demuestre que $PG$ y $AF$ son perpendiculares.