Sea $ABCD$ un rectángulo de lados $AB = 4$ y $BC = 3$. La perpendicular sobre la diagonal $BD$ trazada desde $A$ corta a $BD$ en el punto $H$. Llamamos $M$ al punto medio de $BH$ y $N$ al punto medio de $CD$. Calcular la medida del segmento $MN$.

Diez monedas de $1$ cm de radio se colocan alrededor de un círculo como se indica en la figura. Cada moneda es tangente al círculo y a sus dos monedas vecinas. Pruebe que la suma de las áreas de las diez monedas es el doble del área del círculo.

En el trapecio $ABCD$, el lado $DA$ es perpendicular a las bases $AB$ y $CD$. La base $AB$ mide $45$, la base $CD$ mide $20$ y el lado $BC$ mide $65$. Sea $P$ en el lado $BC$ tal que $BP$ mide $45$ y $M$ es el punto medio de $DA$. Calcular la medida del segmento $PM$.

Sea $S$ un círculo con radio $2$, sea $S_1$ un círculo, con radio $1$ y tangente, internamente a $S$ en $B$ y sea $S_2$ un círculo, con radio $1$ y tangente a $S_1$ en $A$, pero $S_2$ no es tangente a $S$. Si $K$ es el punto de intersección de la línea $AB$ y el círculo $S$, pruebe que $K$ está en el círculo $S_2$.

Dado un paralelogramo con área $1$ y construiremos líneas donde estas líneas conectan un vértice con un punto medio del lado no adyacente a este vértice; con las $8$ líneas formadas tenemos un octágono dentro del paralelogramo. Determine el área de este octágono

Sea $ABC$ un triángulo equilátero. $N$ es un punto en el lado $AC$ tal que $\vec{AC} = 7\vec{AN}$, $M$ es un punto en el lado $AB$ tal que $MN$ es paralelo a $BC$ y $P$ es un punto en el lado $BC$ tal que $MP$ es paralelo a $AC$. Encuentre la razón de áreas $\frac{ (MNP)}{(ABC)}$

En un cuadrado $ABCD$ de lado $k$, sean $P$ y $Q$ en $BC$ y $DC$ respectivamente, donde $PC = 3PB$ y $QD = 2QC$. Sea $M$ el punto de intersección de las líneas $AQ$ y $PD$, determine el área de $QMD$ en función de $k$.

Consideremos una pirámide cuya base es un triángulo equilátero $BCD$ y cuyas otras caras son triángulos isósceles, rectos en el vértice común $A$. Una hormiga sale del vértice $B$, llega a un punto $P$ del lado $CD$, desde allí va a un punto $Q$ del lado $AC$ y regresa al punto $B$. Si el camino que hizo es mínimo, ¿cuánto mide el ángulo $PQA$?

Sea $\mathbb{Z} _{>0}$ el conjunto de enteros positivos. Encuentre todas las funciones $f: \mathbb{Z} _{>0}\rightarrow \mathbb{Z} _{>0}$ tales que \[ m^2 + f(n) \mid mf(m) +n \] para todos los enteros positivos $m$ y $n$ .

Sea el excírculo del triángulo $ABC$ opuesto al vértice $A$ tangente al lado $BC$ en el punto $A_1$ . Defina los puntos $B_1$ en $CA$ y $C_1$ en $AB$ análogamente, usando los excírculos opuestos a $B$ y $C$ , respectivamente. Suponga que el circuncentro del triángulo $A_1B_1C_1$ se encuentra en la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ . Pruebe que el triángulo $ABC$ es rectángulo.