Sea $n \geqslant 100$ un entero. Iván escribe los números $n, n+1, \ldots, 2 n$ cada uno en diferentes tarjetas. Luego baraja estas $n+1$ tarjetas, y las divide en dos montones. Demuestra que al menos uno de los montones contiene dos tarjetas tales que la suma de sus números es un cuadrado perfecto.

Encuentra todos los enteros positivos $n\geq1$ tales que existe un par $(a,b)$ de enteros positivos, tal que $a^2+b+3$ no es divisible por el cubo de ningún primo, y $$n=\frac{ab+3b+8}{a^2+b+3}.$$

Sea $ABC$ un triángulo con circuncírculo $\omega$ y sea $\Omega_A$ el excírculo $A$. Sean $X$ e $Y$ los puntos de intersección de $\omega$ y $\Omega_A$. Sean $P$ y $Q$ las proyecciones de $A$ sobre las líneas tangentes a $\Omega_A$ en $X$ e $Y$ respectivamente. La línea tangente en $P$ al circuncírculo del triángulo $APX$ interseca la línea tangente en $Q$ al circuncírculo del triángulo $AQY$ en un punto $R$. Demuestra que $\overline{AR} \perp \overline{BC}$.

Sea $D$ un punto interior del triángulo acutángulo $ABC$ con $AB > AC$ tal que $\angle DAB = \angle CAD$. El punto $E$ en el segmento $AC$ satisface $\angle ADE =\angle BCD$, el punto $F$ en el segmento $AB$ satisface $\angle FDA =\angle DBC$, y el punto $X$ en la línea $AC$ satisface $CX = BX$. Sean $O_1$ y $O_2$ los circuncentros de los triángulos $ADC$ y $EXD$, respectivamente. Demuestra que las líneas $BC, EF$ y $O_1O_2$ son concurrentes.

Encuentra todos los enteros $n\geq 3$ para los cuales cada $n$ - gon convexo equilátero de lado $1$ contiene un triángulo equilátero de lado $1$ . (Aquí, los polígonos contienen sus límites.)

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico cuyos lados tienen longitudes diferentes por pares. Sea $O$ el circuncentro de $ABCD$ . Las bisectrices internas de $\angle ABC$ y $\angle ADC$ se encuentran con $AC$ en $B_1$ y $D_1$ , respectivamente. Sea $O_B$ el centro del círculo que pasa por $B$ y es tangente a $\overline{AC}$ en $D_1$ . Del mismo modo, sea $O_D$ el centro del círculo que pasa por $D$ y es tangente a $\overline{AC}$ en $B_1$ . Suponga que $\overline{BD_1} \parallel \overline{DB_1}$ . Demuestra que $O$ se encuentra en la línea $\overline{O_BO_D}$ .

Sea $ABCD$ un cuadrilátero inscrito en un círculo $\Omega.$ Sea la tangente a $\Omega$ en $D$ que se encuentra con los rayos $BA$ y $BC$ en $E$ y $F,$ respectivamente. Se elige un punto $T$ dentro de $\triangle ABC$ de modo que $\overline{TE}\parallel\overline{CD}$ y $\overline{TF}\parallel\overline{AD}.$ Sea $K\ne D$ un punto en el segmento $DF$ que satisface $TD=TK.$ Demuestra que las líneas $AC,DT,$ y $BK$ son concurrentes.

Considera una rejilla cuadrada unitaria de $100\times 100$ $\textbf{L}$ (por lo tanto, $\textbf{L}$ tiene $10000$ puntos). Suponga que $\mathcal{F}$ es un conjunto de polígonos tal que todos los vértices de los polígonos en $\mathcal{F}$ se encuentran en $\textbf{L}$ y cada punto en $\textbf{L}$ es el vértice de exactamente un polígono en $\mathcal{F}.$ Encuentra la máxima suma posible de las áreas de los polígonos en $\mathcal{F}.$

Sea $\Gamma$ un círculo con centro $I$ , y $A B C D$ un cuadrilátero convexo tal que cada uno de los segmentos $A B, B C, C D$ y $D A$ es tangente a $\Gamma$ . Sea $\Omega$ la circunferencia circunscrita del triángulo $A I C$ . La extensión de $B A$ más allá de $A$ se encuentra con $\Omega$ en $X$ , y la extensión de $B C$ más allá de $C$ se encuentra con $\Omega$ en $Z$ . Las extensiones de $A D$ y $C D$ más allá de $D$ se encuentran con $\Omega$ en $Y$ y $T$ , respectivamente. Demuestra que \[A D+D T+T X+X A=C D+D Y+Y Z+Z C.\]

Sea $ABCD$ un paralelogramo con $AC=BC.$ Se elige un punto $P$ en la extensión del rayo $AB$ más allá de $B.$ El circuncírculo de $ACD$ se encuentra con el segmento $PD$ nuevamente en $Q.$ El circuncírculo del triángulo $APQ$ se encuentra con el segmento $PC$ en $R.$ Demuestra que las líneas $CD,AQ,BR$ son concurrentes.