Determina el entero más grande $N$ para el cual existe una tabla $T$ de enteros con $N$ filas y $100$ columnas que tiene las siguientes propiedades:\n$\text{(i)}$ Cada fila contiene los números $1$ , $2$ , $\ldots$ , $100$ en algún orden.\n$\text{(ii)}$ Para cualesquiera dos filas distintas $r$ y $s$ , existe una columna $c$ tal que $|T(r,c) - T(s, c)|\geq 2$ . (Aquí $T(r,c)$ es la entrada en la fila $r$ y columna $c$ . )

Considera un cuadrado cuadriculado de $3m\times 3m$, donde $m$ es un entero mayor que $1.$ Una rana se sienta en la celda de la esquina inferior izquierda $S$ y quiere llegar a la celda de la esquina superior derecha $F.$ La rana puede saltar desde cualquier celda a la siguiente celda a la derecha o a la siguiente celda hacia arriba. Algunas celdas pueden ser 'pegajosas', y la rana queda atrapada una vez que salta sobre tal celda. Un conjunto $X$ de celdas se llama 'bloqueante' si la rana no puede llegar a $F$ desde $S$ cuando todas las celdas de $X$ son 'pegajosas'. Un conjunto bloqueante es minimal si no contiene un conjunto bloqueante más pequeño. Demuestra que existe un conjunto bloqueante minimal que contiene al menos $3m^2-3m$ celdas. Demuestra que todo conjunto bloqueante minimal contiene a lo sumo $3m^2$ celdas.

Un cazador y un conejo invisible juegan en una cuadrícula cuadrada infinita. Primero, el cazador fija una coloración de las celdas con finitamente muchos colores. Luego, el conejo elige secretamente una celda para comenzar. Cada minuto, el conejo informa el color de su celda actual al cazador, y luego se mueve secretamente a una celda adyacente que no ha visitado antes (dos celdas son adyacentes si comparten un borde). El cazador gana si después de un tiempo finito: el conejo no puede moverse; o el cazador puede determinar la celda en la que comenzó el conejo. Decide si existe una estrategia ganadora para el cazador.

Demuestra que $\frac{5^{125}-1}{5^{25}-1}$ es un número compuesto.

¿Existe un conjunto $ M$ con las siguientes propiedades? (i) El conjunto $ M$ consta de 1992 números naturales. (ii) Cada elemento en $ M$ y la suma de cualquier número de elementos tiene la forma $ m^k$ $ (m, k \in \mathbb{N}, k \geq 2).$

Para cualquier entero positivo $ x$ define $ g(x)$ como el mayor divisor impar de $ x,$ y \[ f(x) = \begin{cases} \frac {x}{2} + \frac {x}{g(x)} & \text{si \(x\) es par}, \\ 2^{\frac {x + 1}{2}} & \text{si \(x\) es impar}. \end{cases} \] Construya la secuencia $ x_1 = 1, x_{n + 1} = f(x_n).$ Muestre que el número 1992 aparece en esta secuencia, determine el menor $ n$ tal que $ x_n = 1992,$ y determine si $ n$ es único.

Encuentre todos los enteros $\,a,b,c\,$ con $\,1<a<b<c\,$ tales que \[ (a-1)(b-1)(c-1) \] es un divisor de $abc-1.$

Sean $ f, g$ y $ a$ polinomios con coeficientes reales, $ f$ y $ g$ en una variable y $ a$ en dos variables. Suponga \[ f(x) - f(y) = a(x, y)(g(x) - g(y)) \forall x,y \in \mathbb{R}\] Pruebe que existe un polinomio $ h$ con $ f(x) = h(g(x)) \text{ } \forall x \in \mathbb{R}.$

En un triángulo $ ABC,$ sean $ D$ y $ E$ las intersecciones de las bisectrices de $ \angle ABC$ y $ \angle ACB$ con los lados $ AC,AB,$ respectivamente. Determine los ángulos $ \angle A,\angle B, \angle C$ si $ \angle BDE = 24 ^{\circ},$ $ \angle CED = 18 ^{\circ}.$

Dos círculos $ \Omega_{1}$ y $ \Omega_{2}$ son externamente tangentes entre sí en un punto $ I$ , y ambos círculos son tangentes a un tercer círculo $ \Omega$ que encierra a los dos círculos $ \Omega_{1}$ y $ \Omega_{2}$ . La tangente común a los dos círculos $ \Omega_{1}$ y $ \Omega_{2}$ en el punto $ I$ se encuentra con el círculo $ \Omega$ en un punto $ A$ . Una tangente común a los círculos $ \Omega_{1}$ y $ \Omega_{2}$ que no pasa por $ I$ se encuentra con el círculo $ \Omega$ en los puntos $ B$ y $ C$ de tal manera que los puntos $ A$ y $ I$ se encuentran en el mismo lado de la línea $ BC$ . Demuestra que el punto $ I$ es el incentro del triángulo $ ABC$ . Formulación alternativa: Dos círculos se tocan externamente en un punto $ I$ . Los dos círculos se encuentran dentro de un círculo grande y ambos lo tocan. La cuerda $ BC$ del círculo grande toca ambos círculos más pequeños (no en $ I$ ). La tangente común a los dos círculos más pequeños en el punto $ I$ se encuentra con el círculo grande en un punto $ A$ , donde los puntos $ A$ y $ I$ están en el mismo lado de la cuerda $ BC$ . Muestra que el punto $ I$ es el incentro del triángulo $ ABC$ .