Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $AC = BC$ . El punto $D$ se encuentra en el lado $AB$ tal que la semicircunferencia con diámetro $BD$ y centro $O$ es tangente al lado $AC$ en el punto $P$ e interseca al lado $BC$ en el punto $Q$ . El radio $OP$ interseca a la cuerda $DQ$ en el punto $E$ tal que $5 \cdot PE = 3 \cdot DE$ . Encuentre la razón $\frac{AB}{BC}$ .

Sea $ABC$ un triángulo con $\angle A<{{90}^{o}} $. Fuera de un triángulo consideramos los triángulos isósceles $ABE$ y $ACZ$ con bases $AB$ y $AC$ , respectivamente. Si el punto medio $D$ del lado $BC$ es tal que $DE \perp DZ$ y $EZ = 2 \cdot ED$ , demuestre que $\angle AEB = 2 \cdot \angle AZC$ .

¿Es posible cubrir un cuadrado dado con algunos triángulos rectángulos congruentes con un ángulo agudo igual a ${{30}^{o}}$ ? (Los triángulos no pueden superponerse ni exceder los márgenes del cuadrado).

Sea $ABC$ un triángulo, ($BC < AB$). La línea $l$ que pasa por los vértices $C$ y es ortogonal a la bisectriz del ángulo $BE$ de $\angle B$, se encuentra con $BE$ y la mediana $BD$ del lado $AC$ en los puntos $F$ y $G$, respectivamente. Demuestra que el segmento $DF$ biseca el segmento $EG$.

Los vértices $A$ y $B$ de un triángulo equilátero $ABC$ se encuentran en un círculo $k$ de radio $1$, y el vértice $C$ está en el interior del círculo $k$. Un punto $D$, diferente de $B$, se encuentra en $k$ de modo que $AD=AB$. La línea $DC$ interseca a $k$ por segunda vez en el punto $E$. Encuentra la longitud del segmento de línea $CE$.

Para un triángulo $ABC$ fijo, elegimos un punto $M$ en el rayo $CA$ (después de $A$), un punto $N$ en el rayo $AB$ (después de $B$) y un punto $P$ en el rayo $BC$ (después de $C$) de tal manera que $AM -BC = BN- AC = CP – AB$. Demuestra que los ángulos del triángulo $MNP$ no dependen de la elección de $M, N, P$.

Dos cuerdas perpendiculares de un círculo, $AM, BN$, que se intersecan en el punto $K$, definen en el círculo cuatro arcos con longitudes diferentes por pares, siendo $AB$ el más pequeño de ellos. Dibujamos las cuerdas $AD, BC$ con $AD // BC$ y $C, D$ diferentes de $N, M$. Si $L$ es el punto de intersección de $DN, MC$ y $T$ el punto de intersección de $DC, KL$, prueba que $\angle KTC = \angle KNL$.

Demuestre que $(x + y + z) \big(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\big) \ge 4 \big(\frac{x}{xy+1}+\frac{y}{yz+1}+\frac{z}{zx+1}\big)^2$ , para todos los números reales positivos $x, y $ y $z$ .

Determine el valor mínimo del primo $p> 3$ para el cual no existe un número natural $n> 0$ tal que $2^n+3^n\equiv 0\pmod{p} $ .

Sea $f : N \to R$ una función, que satisface la siguiente condición: para cada entero $n > 1$, existe un divisor primo $p$ de $n$ tal que $f(n) = f \big(\frac{n}{p}\big)-f(p)$. Si $f(2^{2007}) + f(3^{2008}) + f(5^{2009}) = 2006$, determine el valor de $f(2007^2) + f(2008^3) + f(2009^5)$.