¿Es posible ordenar los números $1^1, 2^2,..., 2008^{2008}$ uno tras otro, de tal manera que el número obtenido sea un cuadrado perfecto? (Explique su respuesta.)

Encuentra todas las ternas $(x,y,z)$ de números reales que satisfacen el sistema $\begin{cases} x + y + z = 2008 \\ x^2 + y^2 + z^2 = 6024^2 \\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2008} \end{cases}$

Sea el parámetro real $p$ tal que el sistema $\begin{cases} p(x^2 - y^2) = (p^2- 1)xy \\ |x - 1|+ |y| = 1 \end{cases}$ tiene al menos tres soluciones reales diferentes. Encuentra $p$ y resuelve el sistema para esa $p$ .

Encuentra todos los números reales $ a,b,c,d$ tales que \[ \left\{\begin{array}{cc}a + b + c + d = 20, \\ab + ac + ad + bc + bd + cd = 150. \end{array} \right.\]

Si para los números reales $x, y,z, k$ se cumplen las siguientes condiciones, $x \ne y \ne z \ne x$ y $x^3 +y^3 +k(x^2 +y^2) = y^3 +z^3 +k(y^2 +z^2) = z^3 +x^3 +k(z^2 +x^2) = 2008$ , halla el producto $xyz$ .

Sea $k$ un entero positivo fijo. Para cada $n = 1, 2,...,$ llamaremos configuración de orden $n$ a cualquier conjunto de $kn$ puntos del plano, que no contiene $3$ colineales, coloreados con $k$ colores dados, de modo que haya $n$ puntos de cada color. Determina todos los enteros positivos $n$ con la siguiente propiedad: en cada configuración de orden $n$ , es posible seleccionar tres puntos de cada color, tales que los $k$ triángulos con vértices del mismo color que se determinan son disjuntos por pares.

Decimos que $M$ es el punto medio de la poligonal abierta $XYZ$ , formada por los segmentos $XY, YZ$ , si $M$ pertenece a la poligonal y divide su longitud por la mitad. Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con ortocentro $H$ . Sean $A_1, B_1,C_1,A_2, B_2,C_2$ los puntos medios de las poligonales abiertas $CAB, ABC, BCA, BHC, CHA, AHB$ , respectivamente. Muestra que las rectas $A_1 A_2, B_1B_2$ y $C_1C_2$ son concurrentes.

Sea $M$ un subconjunto de $\{1,2,..., 1998\}$ con $1000$ elementos. Demuestra que siempre es posible encontrar dos elementos $a$ y $b$ en $M$ , no necesariamente distintos, tales que $a + b$ es una potencia de $2$ .

Sea $ABC$ un triángulo con $\angle BAC = 90^\circ$ y $AB > AC$ . Sea $D$ el pie de la altura desde $A$ hasta $BC$ , $M$ el punto medio de $BC$ y $A'$ el reflejo de $A$ sobre $D$ . Sea la mediatriz de $DM$ intersectar las líneas $AB$ y $A'C$ en $P$ y $Q$ , respectivamente. Sea $K$ la intersección de las líneas $A'C$ y $AB$ . Demostrar que $PQ$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $QDK$ .

Sea $n$ un entero positivo. Ana y Beto juegan un juego en un tablero de $2 \times n$ (con 2 filas y $n$ columnas). Primero, Ana escribe un dígito del 1 al 9 en cada celda del tablero de tal manera que en cada columna los dos dígitos escritos sean diferentes. Luego, Beto borra un dígito de cada columna. Leyendo de izquierda a derecha, se forma un número con $n$ dígitos. Beto gana si este número es múltiplo de $n$ ; de lo contrario, Ana gana. Determinar cuál de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora en los siguientes casos:\n$\bullet$ (a) $n = 1001$ .\n$\bullet$ (b) $n = 1003$ .