Sea $p$ un número primo. Encuentra todos los enteros positivos $a$ y $b$ tales que: $\frac{4a + p}{b}+\frac{4b + p}{a}$ y $ \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}$ son enteros.

Sean $a, b, c, d, e, f$ dígitos distintos de cero tales que los números naturales $\overline{abc}, \overline{def}$ y $\overline{abcdef }$ son cuadrados. a) Demuestra que $\overline{abcdef}$ puede representarse de dos maneras diferentes como una suma de tres cuadrados de números naturales. b) Da un ejemplo de tal número.

Encuentra todos los enteros $n$ tales que $n^4 + 8n + 11$ es un producto de dos o más enteros consecutivos.

Sea $s(a)$ la suma de los dígitos de un entero positivo dado $a$. La secuencia $a_1, a_2,..., a_n, ...$ de enteros positivos es tal que $a_{n+1} = a_n+s(a_n)$ para cada entero positivo $n$. Encuentra el mayor valor posible de $n$ para el cual es posible tener $a_n = 2008$.

Sea $n \ge 2$ un entero positivo fijo. Un entero será llamado ' $n$ - libre' si no es un múltiplo de una $n$ - ésima potencia de un primo. Sea $M$ un conjunto infinito de números racionales, tal que el producto de cada $n$ elementos de $M$ es un entero $n$ - libre. Pruebe que $M$ contiene solo enteros.

Encuentre todos los enteros positivos $x$ e $y$ que satisfacen la ecuación $x(x - y) = 8y - 7$.

Considere $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB \ne AC$. Denotemos por $M$ el punto medio de $BC$, por $D, E$ los pies de las alturas desde $B, C$ respectivamente y sea $P$ el punto de intersección de las líneas $DE$ y $BC$. La perpendicular desde $M$ a $AC$ se encuentra con la perpendicular desde $C$ a $BC$ en el punto $R$. Pruebe que las líneas $PR$ y $AM$ son perpendiculares.

Sea $\Gamma$ un círculo de centro $O$, y $\delta$ una línea en el plano de $\Gamma$, que no lo intersecta. Denotemos por $A$ el pie de la perpendicular desde $O$ a $\delta$, y sea $M$ un punto (variable) en $\Gamma$. Denotemos por $\gamma$ el círculo de diámetro $AM$, por $X$ el punto de intersección (distinto de $M$) de $\gamma$ y $\Gamma$, y por $Y$ el punto de intersección (distinto de $A$) de $\gamma$ y $\delta$. Pruebe que la línea $XY$ pasa por un punto fijo.

Sea $O$ un punto dentro del paralelogramo $ABCD$ tal que $\angle AOB + \angle COD = \angle BOC + \angle AOD$ . Demuestre que existe un círculo $k$ tangente a los círculos circunscritos de los triángulos $\vartriangle AOB, \vartriangle BOC, \vartriangle COD$ y $\vartriangle DOA$ .

Las longitudes de los lados de un paralelogramo son $a, b$ y las diagonales tienen longitudes $x$ e $y$ . Sabiendo que $ab = \frac{xy}{2}$ , demuestre que $\left( a,b \right)=\left( \frac{x}{\sqrt{2}},\frac{y}{\sqrt{2}} \right)$ o $\left( a,b \right)=\left( \frac{y}{\sqrt{2}},\frac{x}{\sqrt{2}} \right)$ .