3 Halle todos los enteros positivos $n$ tales que \[n=d_6^2+d_7^2-1,\] donde $1 = d_1 < d_2 < \cdots < d_k = n$ son todos los divisores positivos del número $n.$ Amir

Sean $x_1,x_2,\dots,x_{2023}$ números reales positivos distintos dos a dos tales que \[ a_n=\sqrt{(x_1+x_2+\dots+x_n)\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\dots+\frac{1}{x_n}\right)} \] es un entero para cada $n=1,2,\dots,2023.$ Demuestra que $a_{2023} \geqslant 3034.$

Sea $n$ un entero positivo. Un triángulo japonés consiste en $1 + 2 + \dots + n$ círculos dispuestos en forma de triángulo equilátero tal que para cada $i = 1$, $2$, $\dots$, $n$, la fila $i$-ésima contiene exactamente $i$ círculos, exactamente uno de los cuales está coloreado de rojo. Un camino ninja en un triángulo japonés es una secuencia de $n$ círculos que se obtiene comenzando en la fila superior, luego bajando repetidamente de un círculo a uno de los dos círculos inmediatamente debajo de él y terminando en la fila inferior. Aquí hay un ejemplo de un triángulo japonés con $n = 6$, junto con un camino ninja en ese triángulo que contiene dos círculos rojos. [asy] // crédito a vEnhance por el diagrama (que era mejor que mi asy original): size(4cm); pair X = dir(240); pair Y = dir(0); path c = scale(0.5)*unitcircle; int[] t = {0,0,2,2,3,0}; for (int i=0; i<=5; ++i) { for (int j=0; j<=i; ++j) { filldraw(shift(i*X+j*Y)*c, (t[i]==j) ? lightred : white); draw(shift(i*X+j*Y)*c); } } draw((0,0)--(X+Y)--(2*X+Y)--(3*X+2*Y)--(4*X+2*Y)--(5*X+2*Y),linewidth(1.5)); path q = (3,-3sqrt(3))--(-3,-3sqrt(3)); draw(q,Arrows(TeXHead, 1)); label("$n = 6$", q, S); label("$n = 6$", q, S); [/asy] En términos de $n$, encuentra el mayor $k$ tal que en cada triángulo japonés exista un camino ninja que contenga al menos $k$ círculos rojos.

6 Sea \(ABC\) un triángulo equilátero. Sean \(A_1,B_1,C_1\) puntos interiores de \(ABC\) tales que \(BA_1=A_1C\), \(CB_1=B_1A\), \(AC_1=C_1B\), y \[ \angle BA_1C+\angle CB_1A+\angle AC_1B=480^\circ \] Sea \(BC_1\) y \(CB_1\) que se cortan en \(A_2\), sea \(CA_1\) y \(AC_1\) que se cortan en \(B_2\), y sea \(AB_1\) y \(BA_1\) que se cortan en \(C_2\). Demuestra que si el triángulo \(A_1B_1C_1\) es escaleno, entonces las tres circunferencias circunscritas de los triángulos \(AA_1A_2\), \(BB_1B_2\) y \(CC_1C_2\) pasan todas por dos puntos comunes. (Nota: un triángulo escaleno es aquel donde no hay dos lados de igual longitud.) Propuesto por Ankan Bhattacharya, EE. UU.

1 Sea \( a_{0} = 1994 \) y \( a_{n + 1} = \frac {a_{n}^{2}}{a_{n} + 1} \) para cada entero no negativo \( n \). Demuestra que \( 1994 - n \) es el mayor entero menor o igual que \( a_{n} \), para \( 0 \leq n \leq 998 \).

2 Sean \( m \) y \( n \) dos enteros positivos. Sean \( a_1, a_2, \ldots, a_m \) \( m \) números distintos del conjunto \( \{1, 2, \ldots, n\} \) tales que para cualesquiera dos índices \( i \) y \( j \) con \( 1 \leq i \leq j \leq m \) y \( a_i + a_j \leq n \), existe un índice \( k \) tal que \( a_i + a_j = a_k \). Demuestra que \[ \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_m}{m} \geq \frac{n + 1}{2}. \]

3 Sea $ S$ el conjunto de todos los números reales estrictamente mayores que −1. Encuentra todas las funciones $ f: S \to S$ que satisfacen las dos condiciones: (a) $ f(x + f(y) + xf(y)) = y + f(x) + yf(x)$ para todos $ x, y$ en $ S$ ; (b) $ \frac {f(x)}{x}$ es estrictamente creciente en cada uno de los dos intervalos $ - 1 < x < 0$ y $ 0 < x$ .

4 Sea $ \mathbb{R}$ el conjunto de todos los números reales y $ \mathbb{R}^+$ el subconjunto de los positivos. Sean $ \alpha$ y $ \beta$ elementos dados en $ \mathbb{R},$ no necesariamente distintos. Encuentra todas las funciones $ f: \mathbb{R}^+ \mapsto \mathbb{R}$ tales que \[ f(x)f(y) = y^{\alpha} f \left( \frac{x}{2} \right) + x^{\beta} f \left( \frac{y}{2} \right) \forall x,y \in \mathbb{R}^+.\]

5 Sea $ f(x) = \frac{x^2+1}{2x}$ para $ x \neq 0.$ Define $ f^{(0)}(x) = x$ y $ f^{(n)}(x) = f(f^{(n-1)}(x))$ para todos los enteros positivos $ n$ y $ x \neq 0.$ Demuestra que para todos los enteros no negativos $ n$ y $ x \neq \{-1,0,1\}$ \[ \frac{f^{(n)}(x)}{f^{(n+1)}(x)} = 1 + \frac{1}{f \left( \left( \frac{x+1}{x-1} \right)^{2n} \right)}.\]

8 Asisten a una reunión $3n$ ( $n \ge 2, n \in N$ ) personas, en la que cualesquiera dos conocidos tienen exactamente $n$ conocidos en común, y cualesquiera dos desconocidos tienen exactamente $2n$ conocidos en común. Si tres personas se conocen entre sí, se denomina grupo Taoyuan. (1) Halle el número de todos los grupos Taoyuan; (2) Demuestre que estas $3n$ personas pueden dividirse en tres grupos, con $n$ personas en cada grupo, y que las tres personas obtenidas al seleccionar al azar una persona de cada grupo constituyen un grupo Taoyuan. Nota: Conocido significa que dos personas se conocen entre sí; de lo contrario, no son conocidos. Dos personas que se conocen entre sí se denominan conocidos.