Sea $n$ un entero positivo. Un triángulo japonés consiste en $1 + 2 + \dots + n$ círculos dispuestos en forma de triángulo equilátero tal que para cada $i = 1$, $2$, $\dots$, $n$, la fila $i$-ésima contiene exactamente $i$ círculos, exactamente uno de los cuales está coloreado de rojo. Un camino ninja en un triángulo japonés es una secuencia de $n$ círculos que se obtiene comenzando en la fila superior, luego bajando repetidamente de un círculo a uno de los dos círculos inmediatamente debajo de él y terminando en la fila inferior. Aquí hay un ejemplo de un triángulo japonés con $n = 6$, junto con un camino ninja en ese triángulo que contiene dos círculos rojos. [asy] // crédito a vEnhance por el diagrama (que era mejor que mi asy original): size(4cm); pair X = dir(240); pair Y = dir(0); path c = scale(0.5)*unitcircle; int[] t = {0,0,2,2,3,0}; for (int i=0; i<=5; ++i) { for (int j=0; j<=i; ++j) { filldraw(shift(i*X+j*Y)*c, (t[i]==j) ? lightred : white); draw(shift(i*X+j*Y)*c); } } draw((0,0)--(X+Y)--(2*X+Y)--(3*X+2*Y)--(4*X+2*Y)--(5*X+2*Y),linewidth(1.5)); path q = (3,-3sqrt(3))--(-3,-3sqrt(3)); draw(q,Arrows(TeXHead, 1)); label("$n = 6$", q, S); label("$n = 6$", q, S); [/asy] En términos de $n$, encuentra el mayor $k$ tal que en cada triángulo japonés exista un camino ninja que contenga al menos $k$ círculos rojos.