5 Sea $A_1A_2A_3$ un triángulo y, para $1 \leq i \leq 3$, sea $B_i$ un punto interior del lado opuesto a $A_i$. Demuestra que las mediatrices de $A_iB_i$ para $1 \leq i \leq 3$ no son concurrentes.

Dados los polígonos $P$ y $Q$ como se muestran en la cuadrícula siguiente, corta $P$ en dos polígonos $P_1$ y $P_2$ tales que, al pegarlos de otra manera, formen $Q$.

7 Demuestra que $4x^3-3x+1=2y^2$ tiene al menos $31$ soluciones en enteros positivos $x,y$ con $x\le 1980$. Variante: Demuestra que la ecuación $4x^3-3x+1=2y^2$ tiene infinitas soluciones en enteros positivos $x,y$. Teorema del binomio

Demuestra que si $(a,b,c,d)$ son enteros positivos tales que $(a+2^{\frac13}b+2^{\frac23}c)^2=d$ entonces $d$ es un cuadrado perfecto (es decir, es el cuadrado de un entero positivo). Teorema del binomio.

9 Demuestra que si \(x,y\) son enteros no negativos, entonces \(5x\ge 7y\) si y solo si existen enteros no negativos \((a,b,c,d)\) tales que \[\left\{\begin{array}{l}x=a+2b+3c+7d\qquad\\ y=b+2c+5d\qquad\\ \end{array}\right.\] Teorema del binomio

La función \( f \) está definida en el conjunto \( \mathbb{Q} \) de todos los números racionales y toma valores en \( \mathbb{Q} \). Satisface las condiciones \( f(1)=2 \) y \( f(xy)=f(x)f(y)-f(x+y)+1 \) para todos \( x,y \in \mathbb{Q} \). Determina \( f \) (con demostración). Teorema del binomio.

N7 Sea $a_1,a_2,a_3,\ldots$ una sucesión infinita de enteros positivos tal que $a_{n+2m}$ divide a $a_{n}+a_{n+m}$ para todos los enteros positivos $n$ y $m.$ Demuestre que esta sucesión es eventualmente periódica, es decir, existen enteros positivos $N$ y $d$ tales que $a_n=a_{n+d}$ para todo $n>N.$

A7 Halle el valor máximo de \[S = \sqrt[3]{\frac{a}{b+7}} + \sqrt[3]{\frac{b}{c+7}} + \sqrt[3]{\frac{c}{d+7}} + \sqrt[3]{\frac{d}{a+7}},\] donde $a$ , $b$ , $c$ , $d$ son números reales no negativos que satisfacen $a+b+c+d = 100$ . Propuesto por Evan Chen, Taiwán

Un triángulo \((ABC)\) y un punto \(D\) en su plano satisfacen las relaciones \[\frac{BC}{AD}=\frac{CA}{BD}=\frac{AB}{CD}=\sqrt{3}.\] Demuestra que \((ABC)\) es equilátero y que \(D\) es su centro.

2 Sean $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$ circunferencias cuyos centros están a $10$ unidades de distancia, y cuyos radios son $1$ y $3$. Encuentra, con demostración, el lugar geométrico de todos los puntos $M$ para los cuales existen puntos $X\in \mathcal{C}_1$, $Y\in \mathcal{C}_2$ tales que $M$ es el punto medio de $XY$.