3 Determine todos los enteros positivos \(n\) para los cuales existe un \(n\) - ágono espacial que satisface ambas propiedades siguientes: (a) Sus vértices son distintos, se encuentran sobre las aristas de un tetraedro (pero no en los vértices del tetraedro), y cualesquiera dos vértices consecutivos pertenecen a aristas diferentes del tetraedro. (b) Sus lados se encuentran sobre las caras del tetraedro, no hay dos lados que se intersequen salvo en los vértices, y cualesquiera dos lados consecutivos pertenecen a caras diferentes.

1 Sea \(a\) un entero no negativo, \(p\) un primo impar, y \(a < p\) . Halle el número de soluciones \((x, y, z)\) de la congruencia \[x^2 + y^2 + z^2 \equiv a \pmod{p}.\]

1 Sean $A,B$ vértices adyacentes de un $n$ -ágono regular ( $n\ge5$ ) con centro $O$ . Un triángulo $XYZ$ , congruente con $OAB$ y que inicialmente coincide con él, se mueve en el plano de tal manera que $Y$ y $Z$ recorren cada uno toda la frontera del polígono, permaneciendo $X$ en el interior del polígono. Halle el lugar geométrico de $X$ .

3 Sean $ x_{1},x_{2},\cdots,x_{m},y_{1},y_{2},\cdots,y_{n}$ números reales positivos. Denótese por $ X = \sum_{i = 1}^{m}x,Y = \sum_{j = 1}^{n}y.$ Demuestre que $ 2XY\sum_{i = 1}^{m}\sum_{j = 1}^{n}|x_{i} - y_{j}|\ge X^2\sum_{j = 1}^{n}\sum_{l = 1}^{n}|y_{i} - y_{l}| + Y^2\sum_{i = 1}^{m}\sum_{k = 1}^{m}|x_{i} - x_{k}|$ Fang-jh

1 Una circunferencia es tangente a los lados $AB$ y $AD$ del cuadrilátero convexo $ABCD$ en $G$ y $H$ respectivamente, y corta la diagonal $AC$ en $E$ y $F$ . ¿Cuáles son las condiciones necesarias y suficientes para que exista otra circunferencia que pase por $E$ y $F$ , y sea tangente a las prolongaciones de $DA$ y $DC$ ?

1 Sean \( AB \) y \( CD \) dos cuerdas disjuntas de una circunferencia \( O \) . Sea \( M \) el punto medio de \( AB \) , y \( N \) el punto medio de \( CD \) . Desde el centro \( O \) , trace una perpendicular a \( MN \) , con pie \( E \) . Sobre \( MN \) , tome otro punto \( F \) , y por \( F \) , trace una recta perpendicular a \( MN \) que interseca la prolongación de \( AB \) en \( G \) . Demuestre que la recta \( CD \) también pasa por el punto \( G \) si y solo si \( MF = NE \) .

¿Se pueden dibujar sobre una circunferencia de radio $1$ un total de $1975$ puntos distintos, de modo que la distancia (medida sobre la cuerda) entre cualesquiera dos puntos (de los considerados) sea un número racional?

1 Determina todos los enteros compuestos $n>1$ que satisfacen la siguiente propiedad: si $d_1$ , $d_2$ , $\ldots$ , $d_k$ son todos los divisores positivos de $n$ con $1 = d_1 < d_2 < \cdots < d_k = n$ , entonces $d_i$ divide a $d_{i+1} + d_{i+2}$ para todo $1 \leq i \leq k - 2$ .

2 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB < AC$. Sea $\Omega$ el circuncírculo de $ABC$. Sea $S$ el punto medio del arco $CB$ de $\Omega$ que contiene a $A$. La perpendicular desde $A$ a $BC$ corta a $BS$ en $D$ y vuelve a cortar a $\Omega$ en $E \neq A$. La recta que pasa por $D$ paralela a $BC$ corta a la recta $BE$ en $L$. Denotemos por $\omega$ el circuncírculo del triángulo $BDL$. Sea $\omega$ que corta a $\Omega$ de nuevo en $P \neq B$. Demuestra que la recta tangente a $\omega$ en $P$ corta a la recta $BS$ en la bisectriz interna del ángulo $\angle BAC$.

98 Sea $ A$ una matriz $ n \times n$ cuyos elementos son números reales no negativos. Suponga que $ A$ es una matriz no singular y que todos los elementos de $ A^{-1}$ son números reales no negativos. Demuestre que cada fila y cada columna de $ A$ tiene exactamente un elemento no nulo.