6 Sean $A_1$ , $A_2$ , $\cdots$ , $A_m$ $m$ subconjuntos de un conjunto de tamaño $n$ . Demuestre que $$ \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{m}|A_i|\cdot |A_i \cap A_j|\geq \frac{1}{mn}\left(\sum_{i=1}^{m}|A_i|\right)^3.$$

22 Demuestra que el conjunto $ \{1,2, \ldots, 1989\}$ se puede expresar como la unión disjunta de subconjuntos $ A_i, \{i = 1,2, \ldots, 117\}$ tales que i.) cada $ A_i$ contiene 17 elementos ii.) la suma de todos los elementos en cada $ A_i$ es la misma.

23 Una permutación $ \{x_1, x_2, \ldots, x_{2n}\}$ del conjunto $ \{1,2, \ldots, 2n\}$, donde $ n$ es un entero positivo, se dice que tiene la propiedad $ T$ si $ |x_i - x_{i + 1}| = n$ para al menos un $ i$ en $ \{1,2, \ldots, 2n - 1\}$. Demuestra que, para cada $ n$, hay más permutaciones con la propiedad $ T$ que sin ella.

24 Para puntos \( A_1, \ldots ,A_5\) sobre la esfera de radio 1, ¿cuál es el valor máximo que puede tomar \( \min_{1 \leq i,j \leq 5} A_iA_j\)? Determina todas las configuraciones para las cuales se alcanza este máximo. (O: determina el diámetro de cualquier conjunto \( \{A_1, \ldots ,A_5\}\) para el cual se alcanza este máximo.)

25 Sean $ a, b \in \mathbb{Z}$ que no son cuadrados perfectos. Demuestra que si \[ x^2 - ay^2 - bz^2 + abw^2 = 0\] tiene una solución no trivial en enteros, entonces también la tiene \[ x^2 - ay^2 - bz^2 = 0.\]

26 Sea $ n \in \mathbb{Z}^+$ y sean $ a, b \in \mathbb{R}.$ Determina el rango de $ x_0$ para el cual \[ \sum^n_{i=0} x_i = a \text{ y } \sum^n_{i=0} x^2_i = b,\] donde $ x_0, x_1, \ldots , x_n$ son variables reales.

27 Sea $ m$ un entero positivo impar, $ m > 2.$ Encuentra el menor entero positivo $ n$ tal que $ 2^{1989}$ divide a $ m^n - 1.$

3 Se dan dos enteros positivos $p,q \in \mathbf{Z}^{+}$ . Hay una pizarra con $n$ enteros positivos escritos en ella. Una operación consiste en elegir dos números iguales $a,a$ escritos en la pizarra, y reemplazarlos por $a+p,a+q$ . Determine el menor $n$ tal que dicha operación puede continuar infinitamente.

28 Considera en un plano $ P $ los puntos $ O,A_1,A_2,A_3,A_4 $ tales que \[ \sigma(OA_iA_j) \geq 1 \quad \forall i, j = 1, 2, 3, 4, i \neq j.\] donde $ \sigma(OA_iA_j) $ es el área del triángulo $ OA_iA_j.$ Demuestra que existe al menos un par $ i_0, j_0 \in \{1, 2, 3, 4\} $ tal que \[ \sigma(OA_iA_j) \geq \sqrt{2}.\]

12 Sea $ABCDE$ un pentágono inscrito en una circunferencia $\Omega$ que satisface $AC=AD$ y $BC\parallel DE$. Sea $P$ un punto en el arco $CD$ de $\Omega$ que no contiene a $A$. Para cada una de las rectas $AB,BC,CD,DE,EA$, sean $P_1,P_2,P_3,P_4,P_5$ las reflexiones de $P$ a través de estas rectas, respectivamente. Supón que $PC : PD= P_1P_2 : P_4P_5=2 : 3$, y $CD : P_2P_4=4\sqrt{2} : 11$. Encuentra el valor de $\frac{P_1P_3}{P_1P_5}$.