N1 $\boxed{N1}$ Sea $n$ un entero positivo, $g(n)$ el número de divisores positivos de $n$ de la forma $6k+1$ y $h(n)$ el número de divisores positivos de $n$ de la forma $6k-1$, donde $k$ es un entero no negativo. Encuentra todos los enteros positivos $n$ tales que $g(n)$ y $h(n)$ tienen paridad diferente. Orkhan-Ashraf_2002

6 Un par ordenado $(x, y)$ de enteros es un punto primitivo si el máximo común divisor de $x$ e $y$ es $1$ . Dado un conjunto finito $S$ de puntos primitivos, demuestre que existen un entero positivo $n$ y enteros $a_0, a_1, \ldots , a_n$ tales que, para cada $(x, y)$ en $S$ , tenemos: $$a_0x^n + a_1x^{n-1} y + a_2x^{n-2}y^2 + \cdots + a_{n-1}xy^{n-1} + a_ny^n = 1.$$ Propuesto por John Berman, Estados Unidos

A1 Suponga que una sucesión $a_1,a_2,\ldots$ de números reales positivos satisface \[a_{k+1}\geq\frac{ka_k}{a_k^2+(k-1)}\] para todo entero positivo $k$ . Demuestre que $a_1+a_2+\ldots+a_n\geq n$ para todo $n\geq2$ .

A2 Determine todas las funciones $f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ con la propiedad de que \[f(x-f(y))=f(f(x))-f(y)-1\] se cumple para todos $x,y\in\mathbb{Z}$ .

N1 Halle todos los pares de enteros positivos $(m,n)$ tales que $|4^m-7^n|$ es un número primo. Propuesto por Dorlir Ahmeti, Albania

A3 Sea $n$ un entero positivo fijo. Halle el máximo valor posible de \[ \sum_{1 \le r < s \le 2n} (s-r-n)x_rx_s, \] donde $-1 \le x_i \le 1$ para todo $i = 1, \cdots , 2n$ .

A4 Sea $\mathbb R$ el conjunto de los números reales. Determine todas las funciones $f:\mathbb R\to\mathbb R$ que satisfacen la ecuación \[f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)\] para todos los números reales $x$ e $y$ . Propuesto por Dorlir Ahmeti, Albania

A5 Sea $2\mathbb{Z} + 1$ el conjunto de los enteros impares. Halle todas las funciones $f:\mathbb{Z} \mapsto 2\mathbb{Z} + 1$ que satisfacen \[ f(x + f(x) + y) + f(x - f(x) - y) = f(x+y) + f(x-y) \] para todos $x, y \in \mathbb{Z}$ .

A6 Sea $n$ un entero fijo con $n \ge 2$ . Decimos que dos polinomios $P$ y $Q$ con coeficientes reales son bloque-similares si para cada $i \in \{1, 2, \ldots, n\}$ las sucesiones \begin{eqnarray*} P(2015i), P(2015i - 1), \ldots, P(2015i - 2014) & \text{and}\\ Q(2015i), Q(2015i - 1), \ldots, Q(2015i - 2014) \end{eqnarray*} son permutaciones la una de la otra. (a) Demuestre que existen polinomios bloque-similares distintos de grado $n + 1$ . (b) Demuestre que no existen polinomios bloque-similares distintos de grado $n$ . Propuesto por David Arthur, Canadá

77 Sean $ a, b, c, r,$ y $ s$ números reales. Demuestre que si $ r$ es una raíz de $ ax^2+bx+c = 0$ y s es una raíz de $ -ax^2+bx+c = 0,$ entonces \[ \frac{a}{2} x^2 + bx + c = 0\] tiene una raíz entre $ r$ y $ s.$