27 Sea $O$ un punto en el espacio tridimensional y sean $l_1, l_2, l_3$ rectas mutuamente perpendiculares que pasan por $O$. Sea $S$ la esfera con centro $O$ y radio $R$, y para cada punto $M$ de $S$, sea $S_M$ la esfera con centro $M$ y radio $R$. Denotamos por $P_1, P_2, P_3$ a la intersección de $S_M$ con las rectas $l_1, l_2, l_3$, respectivamente, donde definimos $P_i \neq O$ si $l_i$ corta a $S_M$ en dos puntos distintos y $P_i = O$ en caso contrario ($i = 1, 2, 3$). ¿Cuál es el conjunto de los baricentros de los triángulos (posiblemente degenerados) $P_1P_2P_3$ a medida que $M$ recorre los puntos de $S$? Amir

4 Los enteros positivos $ a$ y $ b$ son tales que los números $ 15a + 16b$ y $ 16a - 15b$ son ambos cuadrados de enteros positivos. ¿Cuál es el menor valor posible que puede tomar el menor de estos dos cuadrados?

2 En el triángulo $ ABC$ tenemos $ \angle{ACB} = 2\angle{ABC}$ y existe el punto $ D$ dentro del triángulo tal que $ AD = AC$ y $ DB = DC$ . Demuestre que $ \angle{BAC} = 3\angle{BAD}$ .

2 Sean $a,b,c$ números reales positivos. Demuestre que $$\frac{a}{\sqrt{(2a+b)(2a+c)}} +\frac{b}{\sqrt{(2b+c)(2b+a)}} +\frac{c}{\sqrt{(2c+a)(2c+b)}} \le 1 $$

37 Las diagonales $AC$ y $CE$ del hexágono regular $ABCDEF$ están divididas por puntos interiores $M$ y $N$ respectivamente, de tal manera que \[ {AM\over AC}={CN\over CE}=r. \] Determine $r$ si $B, M$ y $N$ son colineales.

31 Demuestre que si $n$ es un entero positivo tal que la ecuación \[ x^3-3xy^2+y^3=n \] tiene una solución en enteros $x,y$, entonces tiene al menos tres soluciones de este tipo. Demuestre que la ecuación no tiene soluciones en enteros para $n=2891$.

29 Sea $f : \mathbb R \to \mathbb R$ una función continua. Suponga que la restricción de $f$ al conjunto de los números irracionales es inyectiva. ¿Qué podemos decir acerca de $f$? Responda la pregunta análoga si $f$ se restringe a los números racionales. Amir

38 Se definen los números $u_{n,k} \ (1\leq k \leq n)$ de la siguiente manera: \[u_{1,1}=1, \quad u_{n,k}=\binom{n}{k} - \sum_{d \mid n, d \mid k, d>1} u_{n/d, k/d}.\] (la suma vacía se define como igual a cero). Demuestre que $n \mid u_{n,k}$ para todo número natural $n$ y para todo $k \ (1 \leq k \leq n).$ Amir

40 Consideramos un juego en un tablero de ajedrez infinito similar al del solitario: si dos casillas adyacentes están ocupadas por peones y la siguiente casilla está vacía (las tres casillas se encuentran en una línea vertical u horizontal), entonces podemos retirar estos dos peones y colocar uno de ellos en la tercera casilla. Demuestre que si en la posición inicial los peones llenan un rectángulo de $3k \times n$, entonces es imposible llegar a una posición con solo un peón en el tablero. Amir

41 Una figura convexa y cerrada se encuentra dentro de un círculo dado. La figura es vista desde cada punto de la circunferencia bajo un ángulo recto (es decir, los dos rayos trazados desde el punto y que son tangentes a la figura convexa son perpendiculares). Demuestre que el centro del círculo es un centro de simetría de la figura. Amir