3 Sean $x, y, z$ números reales positivos que satisfacen la igualdad $x^{2}+y^{2}+z^{2}=25$. Encuentre el valor mínimo posible de la expresión $\frac{xy}{z} + \frac{yz}{x} + \frac{zx}{y}$.

2 Sea $S = \{2, 3, 4, \ldots\}$ el conjunto de los enteros mayores o iguales a $2$. ¿Existe una función $f : S \to S$ tal que \[f (a)f (b) = f (a^2 b^2 )\text{ para todo }a, b \in S\text{ con }a \ne b?\] Propuesto por Angelo Di Pasquale, Australia

1 Resuelva la ecuación \[ 3^x - 5^y = z^2 \] en enteros positivos. Grecia

48 Dada una sucesión finita de números complejos $c_1, c_2, \ldots , c_n$, demuestre que existe un entero $k$ ($1 \leq k \leq n$) tal que para toda sucesión finita de números reales $a_1, a_2, \ldots, a_n$ con $1 \geq a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n \geq 0$, se cumple la siguiente desigualdad: \[\left| \sum_{m=1}^n a_mc_m \right| \leq \left| \sum_{m=1}^k c_m \right|.\] Amir

5 Sean $x, y$ números reales que satisfacen $x + y = 1197, \, x \geq 144, \, y \geq 105.$ El valor mínimo de $$\frac{2x^2}{\sqrt{x} - 12} + \frac{27y^2}{3\sqrt{13y} - 104}$$ es _______. ys-lg

6 Sean $p, q, n$ tres enteros positivos tales que $p + q < n$. Sea $(x_{0}, x_{1}, \dots, x_{n})$ una $(n + 1)$-tupla de enteros que satisface las siguientes condiciones: (a) $x_{0} = x_{n} = 0$, y (b) Para cada $i$ con $1 \leq i \leq n$, se tiene que $x_{i} - x_{i - 1} = p$ o $x_{i} - x_{i - 1} = -q$. Demuestre que existen índices $i < j$ con $(i, j) \neq (0, n)$, tales que $x_{i} = x_{j}$.

50 Sea $O$ el punto medio del eje de un cilindro circular recto. Sean $A$ y $B$ puntos diametralmente opuestos de una base, y $C$ un punto del otro círculo base que no pertenece al plano $OAB$. Demuestre que la suma de los ángulos diedros del triedro $OABC$ es igual a $2\pi$. Amir

11 Sean \( z_1, z_2\in\mathbb C \) tales que \( |z_1 + 2z_2| \le 1 \) y \( |z_1^2+z_1z_2 + z_2^2| \le 1 \). Determine el valor máximo de \( \max\{|z_1|, |z_2|\} \). Propuesto por Yiyan Lin

45 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo y dibuje los triángulos regulares $ABM, CDP, BCN, ADQ$, los dos primeros hacia el exterior y los otros dos hacia el interior. Demuestre que $MN = AC$. ¿Qué se puede decir sobre el cuadrilátero $MNPQ$? Amir

1 Encuentre el entero positivo $n$ más pequeño tal que, en una cuadrícula infinita, la unión de cualesquiera $100$ cuadrados de $2 \times 2$ siempre pueda ser cubierta por $n$ cuadrados de $2 \times 2$ disjuntos dos a dos. Propuesto por Xingtong Guo