4 Sea $C$ un círculo de radio $R$ y centro $O$, y $S$ un punto fijo en el interior de $C$. Sean $AA'$ y $BB'$ cuerdas perpendiculares que pasan por $S$. Considere los rectángulos $SAMB$, $SBN'A'$, $SA'M'B'$ y $SB'NA$. Encuentre el conjunto de todos los puntos $M$, $N'$, $M'$ y $N$ cuando $A$ se mueve a lo largo de todo el círculo.

3 Sea $PQRS$ un cuadrilátero cíclico tal que los segmentos $PQ$ y $RS$ no son paralelos. Considere el conjunto de círculos que pasan por $P$ y $Q$, y el conjunto de círculos que pasan por $R$ y $S$. Determine el conjunto $A$ de puntos de tangencia de los círculos en estos dos conjuntos.

43 (a) ¿Cuál es el número máximo de ángulos agudos en un polígono convexo? (b) Considere $m$ puntos en el interior de un $n$-gono convexo. El $n$-gono está particionado en triángulos cuyos vértices se encuentran entre los $n + m$ puntos dados (los vértices del $n$-gono y los puntos dados). Cada uno de los $m$ puntos en el interior es un vértice de al menos un triángulo. Encuentre el número de triángulos obtenidos. Amir

41 Una figura convexa y cerrada se encuentra dentro de un círculo dado. La figura es vista desde cada punto de la circunferencia bajo un ángulo recto (es decir, los dos rayos trazados desde el punto y que son tangentes a la figura convexa son perpendiculares). Demuestre que el centro del círculo es un centro de simetría de la figura. Amir

2 Sean $a_1$ , $a_2$ , $\ldots$ , $a_n$ una sucesión de enteros con valores entre 2 y 1995 tales que: (i) Cualesquiera dos de los $a_i$ son primos entre sí, (ii) Cada $a_i$ es un número primo o un producto de números primos. Determine el menor valor posible de $n$ para asegurar que la sucesión contenga un número primo.

50 Sea $O$ el punto medio del eje de un cilindro circular recto. Sean $A$ y $B$ puntos diametralmente opuestos de una base, y $C$ un punto del otro círculo base que no pertenece al plano $OAB$. Demuestre que la suma de los ángulos diedros del triedro $OABC$ es igual a $2\pi$. Amir

5 Sean $x, y$ números reales que satisfacen $x + y = 1197, \, x \geq 144, \, y \geq 105.$ El valor mínimo de $$\frac{2x^2}{\sqrt{x} - 12} + \frac{27y^2}{3\sqrt{13y} - 104}$$ es _______. ys-lg

6 Sean $p, q, n$ tres enteros positivos tales que $p + q < n$. Sea $(x_{0}, x_{1}, \dots, x_{n})$ una $(n + 1)$-tupla de enteros que satisface las siguientes condiciones: (a) $x_{0} = x_{n} = 0$, y (b) Para cada $i$ con $1 \leq i \leq n$, se tiene que $x_{i} - x_{i - 1} = p$ o $x_{i} - x_{i - 1} = -q$. Demuestre que existen índices $i < j$ con $(i, j) \neq (0, n)$, tales que $x_{i} = x_{j}$.

11 Sean \( z_1, z_2\in\mathbb C \) tales que \( |z_1 + 2z_2| \le 1 \) y \( |z_1^2+z_1z_2 + z_2^2| \le 1 \). Determine el valor máximo de \( \max\{|z_1|, |z_2|\} \). Propuesto por Yiyan Lin

45 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo y dibuje los triángulos regulares $ABM, CDP, BCN, ADQ$, los dos primeros hacia el exterior y los otros dos hacia el interior. Demuestre que $MN = AC$. ¿Qué se puede decir sobre el cuadrilátero $MNPQ$? Amir