5 Sea $ABCD$ un cuadrilátero inscrito en una circunferencia con centro $O$ tal que este se encuentra dentro de $ABCD$ y $\angle{BAC} = \angle{ODA}$. Sea $E$ la intersección de $AC$ con $BD$. Se trazan las rectas $r$ y $s$ que pasan por $E$ tales que $r$ es perpendicular a $BC$ y $s$ es perpendicular a $AD$. Sea $P$ la intersección de $r$ con $AD$, y $M$ la intersección de $s$ con $BC$. Sea $N$ el punto medio de $EO$. Demuestre que $M$, $N$ y $P$ están alineados.

1 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico que no es un trapecio y cuyas diagonales se cortan en $E$. Los puntos medios de $AB$ y $CD$ son $F$ y $G$ respectivamente, y $\ell$ es la recta que pasa por $G$ y es paralela a $AB$. Los pies de las perpendiculares desde $E$ a las rectas $\ell$ y $CD$ son $H$ y $K$, respectivamente. Demuestre que las rectas $EF$ y $HK$ son perpendiculares.

Los números del $1$ al $2014$ están escritos en una pizarra. Una operación válida consiste en borrar dos números $a$ y $b$ de la pizarra y reemplazarlos por el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de $a$ y $b$. Demuestre que, sin importar cuántas operaciones se realicen, la suma de todos los números que permanecen en la pizarra es siempre mayor que $2014$ $\times$ $\sqrt[2014]{2014!}$

6 Dado un rectángulo $ABCD$. Los puntos $E$ y $F$ se encuentran sobre los lados $BC$ y $CD$ respectivamente, de tal manera que el área de los triángulos $ABE$, $ECF$ y $FDA$ es igual a $1$. Determine el área del triángulo $AEF$.

3 Sea $n$ un entero positivo. Existen $n$ ternas ordenadas $$(x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2), \dots, (x_n, y_n, z_n)$$ donde cada coordenada es un entero entre $1$ y $100$ (inclusive), que satisfacen la siguiente condición: Para toda sucesión infinita $(a_1, a_2, a_3, \dots)$ de enteros entre $1$ y $100$, existen un entero positivo $i$ y un índice $j$ (con $1 \leqslant j \leqslant n$) tales que $(a_i, a_{i+1}, a_{i+2}) = (x_j, y_j, z_j)$. Determine el valor mínimo posible de $n$.

3 En el plano cartesiano dibujamos circunferencias de radio 1/20 centradas en cada punto de red. Demuestre que cualquier circunferencia de radio 100 en el plano cartesiano interseca al menos una de las circunferencias pequeñas. Davi

3 Sea $ n \geq 2$ un entero positivo y $ \lambda$ un número real positivo. Inicialmente hay $ n$ pulgas en una línea horizontal, no todas en el mismo punto. Definimos un movimiento como la elección de dos pulgas en algunos puntos $ A$ y $ B$ , con $ A$ a la izquierda de $ B$ , y permitiendo que la pulga de $ A$ salte sobre la pulga de $ B$ hasta el punto $ C$ de modo que $ \frac {BC}{AB} = \lambda$ . Determine todos los valores de $ \lambda$ tales que, para cualquier punto $ M$ en la línea y para cualquier posición inicial de las $ n$ pulgas, exista una sucesión de movimientos que las lleve a todas a una posición a la derecha de $ M$ . Valentin

8 Llamamos a un entero positivo $\textit{cheesy}$ si podemos obtener el promedio de los dígitos en su representación decimal colocando un separador decimal después del dígito más a la izquierda. Demuestre que solo existe una cantidad finita de números $\textit{cheesy}$.

1 Sea $n$ un entero mayor o igual a $2$. Considere números reales $a_1, a_2, \dots, a_{2n}$ que satisfacen la condición \[ |a_k - a_{n+k}| \geqslant 1 \quad \text{para todo } 1 \leqslant k \leqslant n. \] Determine el valor mínimo posible de \[ (a_1 - a_2)^2 + (a_2 - a_3)^2 + \dots + (a_{2n-1} - a_{2n})^2 + (a_{2n} - a_1)^2. \]

6 Sea $F$ una familia de subconjuntos de $S = \left \{ 1,2,...,n \right \}$ ( $n \geq 2$ ). Una jugada válida consiste en elegir dos conjuntos disjuntos $A$ y $B$ de $F$ y añadir $A \cup B$ a $F$ (sin eliminar $A$ y $B$). Inicialmente, $F$ contiene todos los subconjuntos que tienen solo un elemento de $S$. El objetivo es tener todos los subconjuntos de $n - 1$ elementos de $S$ en $F$ utilizando jugadas válidas. Determine el número mínimo de jugadas requeridas para alcanzar el objetivo.