3 Sea el triángulo $ABC$ con $AB<AC$ que tiene ortocentro $H$, y sea $M$ el punto medio de $BC$. La bisectriz interna del ángulo $\angle BAC$ corta a $CH$ en $X$, y la bisectriz externa del ángulo $\angle BAC$ corta a $BH$ en $Y$. Los círculos $(BHX)$ y $(CHY)$ se cortan de nuevo en $Z$. Demuestre que $\angle HZM=90^{\circ}$. Propuesto por Ivan Chan Kai Chin

2 Decimos que un número de 20 dígitos es especial si es imposible representarlo como el producto de un número de 10 dígitos por un número de 11 dígitos. Encuentre la cantidad máxima de números consecutivos que son especiales.

1 Sea $ABC$ un triángulo isósceles, con $AB=AC$. Una recta $r$ que pasa por el incentro $I$ de $ABC$ corta a los lados $AB$ y $AC$ en los puntos $D$ y $E$, respectivamente. Sean $F$ y $G$ puntos sobre $BC$ tales que $BF=CE$ y $CG=BD$. Demuestre que el ángulo $\angle FIG$ es constante cuando variamos la recta $r$.

3 Encuentre todos los polinomios mónicos $f$ con coeficientes enteros que satisfacen la siguiente condición: existe un entero positivo $N$ tal que $p$ divide a $2(f(p)!)+1$ para todo número primo $p>N$ para el cual $f(p)$ es un entero positivo. Nota: Un polinomio mónico tiene un coeficiente principal igual a 1. (Grecia - Panagiotis Lolas y Silouanos Brazitikos)

Sean $a_1, . . . , a_n$ números positivos y $b_1, . . . , b_n, c, d$ números reales que satisfacen $$[a_1x + b_1] + . . . + [a_nx + b_n] = [cx + d]$$ para todo número real $x$. Demuestre que $a_1, . . . , a_n$ no pueden ser todos distintos.

2 Sea $k$ un entero positivo y sean $a_1, a_2, . . . , a_k$ números reales no negativos. Inicialmente, hay una sucesión de $n \geq k$ ceros escritos en una pizarra. En cada paso, Nicole elige $k$ números consecutivos escritos en la pizarra y aumenta el primer número en $a_1$, el segundo en $a_2$, y así sucesivamente, hasta que aumenta el $k$-ésimo en $a_k$. Después de un número positivo de pasos, Nicole logró hacer que todos los números en la pizarra fueran iguales. Demuestre que todos los números distintos de cero entre $a_1, a_2, . . . , a_k$ son iguales.

2 Sean $ a, b, c$ números reales positivos tales que $ abc = 1$ . Demuestre que \[ \left( a - 1 + \frac 1b \right) \left( b - 1 + \frac 1c \right) \left( c - 1 + \frac 1a \right) \leq 1. \] Valentin

5 Cada una de las $2025$ personas dispuestas en un círculo es un caballero, que siempre dice la verdad, o un mentiroso, que siempre miente. Cada una de estas $2025$ personas dijo: Hay exactamente tres caballeros entre mis dos vecinos de la izquierda, mis dos vecinos de la derecha y yo. ¿Cuál es el número máximo posible de caballeros entre estas personas?

4 Encuentre todos los polinomios $f(x)$ con coeficientes enteros que satisfacen las siguientes condiciones para todo entero $n \geqslant 2$: $f(n) > 0$ y $f(n)$ divide a $n^{f(n)} - 1$.

3 Sea $S$ un conjunto finito de enteros positivos que tiene la siguiente propiedad: si $x$ es un elemento de $S$, entonces también lo son todos los divisores positivos de $x$. Un subconjunto no vacío $T$ de $S$ es bueno si, siempre que $x,y\in T$ y $x<y$, el cociente $y/x$ es una potencia de un número primo. Un subconjunto no vacío $T$ de $S$ es malo si, siempre que $x,y\in T$ y $x<y$, el cociente $y/x$ no es una potencia de un número primo. Un conjunto de un solo elemento se considera tanto bueno como malo. Sea $k$ el mayor tamaño posible de un subconjunto bueno de $S$. Demuestre que $k$ es también el menor número de subconjuntos malos disjuntos dos a dos cuya unión es $S$.