4 Sea $n$ un entero positivo. Se nos da una tabla de $2n \times 2n$. Cada celda está coloreada con uno de $2n^2$ colores de tal manera que cada color se utiliza exactamente dos veces. Jana se encuentra en una de las celdas. Hay una barra de chocolate en una de las otras celdas. Jana desea llegar a la celda con la barra de chocolate. En cada paso, ella solo puede moverse de una de las siguientes dos maneras: o camina a una celda adyacente o se teletransporta a la otra celda con el mismo color que su celda actual. (Jana puede moverse a una celda adyacente del mismo color ya sea caminando o teletransportándose). Determine si Jana puede cumplir su deseo, independientemente de la configuración inicial, si tiene que alternar entre las dos formas de moverse y debe comenzar con una teletransportación.

1 Sea $n$ un entero mayor o igual a $2$. Considere números reales $a_1, a_2, \dots, a_{2n}$ que satisfacen la condición \[ |a_k - a_{n+k}| \geqslant 1 \quad \text{para todo } 1 \leqslant k \leqslant n. \] Determine el valor mínimo posible de \[ (a_1 - a_2)^2 + (a_2 - a_3)^2 + \dots + (a_{2n-1} - a_{2n})^2 + (a_{2n} - a_1)^2. \]

1 Una partición de un entero positivo es par si todos sus elementos son números pares. De manera similar, una partición es impar si todos sus elementos son impares. Determine todos los enteros positivos $n$ tales que el número de particiones pares de $n$ sea igual al número de particiones impares de $n$. Observación: Una partición de un entero positivo $n$ es una sucesión no decreciente de enteros positivos cuya suma de elementos es igual a $n$. Por ejemplo, $(2; 3; 4), (1; 2; 2; 2; 2)$ y $(9)$ son particiones de $9.$

1 Dado un par $(a_0, b_0)$ de números reales, definimos dos sucesiones $a_0, a_1, a_2, \dots$ y $b_0, b_1, b_2, \dots$ de números reales mediante $a_{n+1}= a_n + b_n$ y $b_{n+1}=a_nb_n$ para todo $n = 0, 1, 2, \dots$. Encuentre todos los pares $(a_0, b_0)$ de números reales tales que $a_{2022}= a_0$ y $b_{2022}= b_0$.

3 Sea $ n \geq 2$ un entero positivo y $ \lambda$ un número real positivo. Inicialmente hay $ n$ pulgas en una línea horizontal, no todas en el mismo punto. Definimos un movimiento como la elección de dos pulgas en algunos puntos $ A$ y $ B$ , con $ A$ a la izquierda de $ B$ , y permitiendo que la pulga de $ A$ salte sobre la pulga de $ B$ hasta el punto $ C$ de modo que $ \frac {BC}{AB} = \lambda$ . Determine todos los valores de $ \lambda$ tales que, para cualquier punto $ M$ en la línea y para cualquier posición inicial de las $ n$ pulgas, exista una sucesión de movimientos que las lleve a todas a una posición a la derecha de $ M$ . Valentin

6 Sea $F$ una familia de subconjuntos de $S = \left \{ 1,2,...,n \right \}$ ( $n \geq 2$ ). Una jugada válida consiste en elegir dos conjuntos disjuntos $A$ y $B$ de $F$ y añadir $A \cup B$ a $F$ (sin eliminar $A$ y $B$). Inicialmente, $F$ contiene todos los subconjuntos que tienen solo un elemento de $S$. El objetivo es tener todos los subconjuntos de $n - 1$ elementos de $S$ en $F$ utilizando jugadas válidas. Determine el número mínimo de jugadas requeridas para alcanzar el objetivo.

4 Sea $ABC$ un triángulo con $AB < AC < BC$. Sean $I$ el incentro y $\omega$ el incírculo del triángulo $ABC$, respectivamente. Sea $X$ el punto en la recta $BC$ distinto de $C$ tal que la recta que pasa por $X$ y es paralela a $AC$ es tangente a $\omega$. De manera similar, sea $Y$ el punto en la recta $BC$ distinto de $B$ tal que la recta que pasa por $Y$ y es paralela a $AB$ es tangente a $\omega$. Sea $AI$ la recta que interseca al circuncírculo del triángulo $ABC$ en $P \ne A$. Sean $K$ y $L$ los puntos medios de $AC$ y $AB$, respectivamente. Demuestre que $\angle KIL + \angle YPX = 180^{\circ}$. Propuesto por Dominik Burek, Polonia

5 En un tablero de $8$ casillas —como el que se muestra en la figura— hay inicialmente una ficha en cada casilla. $ \begin{tabular}{ | l | c | c |c | c| c | c | c | r| } \hline & & & & & & & \\ \hline \end{tabular} $ Un movimiento consiste en elegir dos fichas y mover una de ellas una casilla a la derecha y la otra una casilla a la izquierda. Si después de $4$ movimientos las $8$ fichas están distribuidas en solo $2$ casillas, determine cuáles pueden ser esas casillas y cuántas fichas hay en cada una.

4 Sea $ABCD$ un paralelogramo y sea $K$ un punto en la recta $AD$ tal que $BK=AB$. Suponga que $P$ es un punto arbitrario en $AB$, y la mediatriz de $PC$ corta al circuncírculo del triángulo $APD$ en los puntos $X$, $Y$. Demuestre que el circuncírculo del triángulo $ABK$ pasa por el ortocentro del triángulo $AXY$. Propuesto por Iman Maghsoudi

3 Los círculos $\omega_1$ y $\omega_2$ tienen centros $O_1$ y $O_2$, respectivamente. Estos dos círculos se cortan en los puntos $X$ e $Y$. $AB$ es una recta tangente común a estos dos círculos tal que $A$ está en $\omega_1$ y $B$ está en $\omega_2$. Sean las tangentes a $\omega_1$ y $\omega_2$ en $X$ que cortan a $O_1O_2$ en los puntos $K$ y $L$, respectivamente. Suponga que la recta $BL$ corta a $\omega_2$ por segunda vez en $M$ y la recta $AK$ corta a $\omega_1$ por segunda vez en $N$. Demuestre que las rectas $AM$, $BN$ y $O_1O_2$ son concurrentes. Propuesto por Dominik Burek - Polonia