3 Sea $n$ un entero positivo. Existen $n$ ternas ordenadas $$(x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2), \dots, (x_n, y_n, z_n)$$ donde cada coordenada es un entero entre $1$ y $100$ (inclusive), que satisfacen la siguiente condición: Para toda sucesión infinita $(a_1, a_2, a_3, \dots)$ de enteros entre $1$ y $100$, existen un entero positivo $i$ y un índice $j$ (con $1 \leqslant j \leqslant n$) tales que $(a_i, a_{i+1}, a_{i+2}) = (x_j, y_j, z_j)$. Determine el valor mínimo posible de $n$.

1 Una partición de un entero positivo es par si todos sus elementos son números pares. De manera similar, una partición es impar si todos sus elementos son impares. Determine todos los enteros positivos $n$ tales que el número de particiones pares de $n$ sea igual al número de particiones impares de $n$. Observación: Una partición de un entero positivo $n$ es una sucesión no decreciente de enteros positivos cuya suma de elementos es igual a $n$. Por ejemplo, $(2; 3; 4), (1; 2; 2; 2; 2)$ y $(9)$ son particiones de $9.$

1 Dado un par $(a_0, b_0)$ de números reales, definimos dos sucesiones $a_0, a_1, a_2, \dots$ y $b_0, b_1, b_2, \dots$ de números reales mediante $a_{n+1}= a_n + b_n$ y $b_{n+1}=a_nb_n$ para todo $n = 0, 1, 2, \dots$. Encuentre todos los pares $(a_0, b_0)$ de números reales tales que $a_{2022}= a_0$ y $b_{2022}= b_0$.

5 ¿Existe un entero positivo $ n$ tal que $ n$ tiene exactamente 2000 divisores primos y $ n$ divide a $ 2^n + 1$ ? Valentin

1 Sea $S(n)$ la suma de todos los dígitos del número natural $n$. Determine todos los números naturales $n$ para los cuales ambos números $n + S(n)$ y $n - S(n)$ son potencias cuadradas de enteros distintos de cero.

3 Sea el triángulo $ABC$ con $AB<AC$ que tiene ortocentro $H$, y sea $M$ el punto medio de $BC$. La bisectriz interna del ángulo $\angle BAC$ corta a $CH$ en $X$, y la bisectriz externa del ángulo $\angle BAC$ corta a $BH$ en $Y$. Los círculos $(BHX)$ y $(CHY)$ se cortan de nuevo en $Z$. Demuestre que $\angle HZM=90^{\circ}$. Propuesto por Ivan Chan Kai Chin

2 Los números $1, 2,..., 2023$ están escritos en la pizarra en este orden. Podemos realizar repetidamente la siguiente operación con ellos: seleccionamos cualquier cantidad impar de números escritos consecutivamente y escribimos estos números en orden inverso. ¿Cuántos órdenes diferentes de estos $2023$ números podemos obtener? Ejemplo: Si comenzamos solo con los números $1, 2, 3, 4, 5, 6$, podemos realizar los siguientes pasos $$1, 2, 3, 4, 5, 6 \to 3, 2, 1, 4, 5, 6 \to 3, 6, 5, 4, 1, 2 \to 3, 6, 1, 4, 5, 2 \to ...$$

1 A cada punto $P$ en el espacio se le asigna un número real $f(P)$ de tal manera que $$f(A) + f(B) = f(C) + f(D)$$ para todo tetraedro regular $ABCD$ con longitud de lado $1$. Demuestre que la función $f$ es constante.

4 En el triángulo $ABC$, los puntos $M$ y $N$ son los puntos medios de los lados $AB$ y $AC$, respectivamente. Las bisectrices de los ángulos interiores $\angle ABC$ y $\angle BCA$ cortan a la recta $MN$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente. Sea $p$ la tangente al círculo circunscrito del triángulo $AMP$ que pasa por el punto $P$, y sea $q$ la tangente al círculo circunscrito del triángulo $ANQ$ que pasa por el punto $Q$. Demuestre que las rectas $p$ y $q$ se cortan en la recta $BC$.

3 Encuentre todos los polinomios mónicos $f$ con coeficientes enteros que satisfacen la siguiente condición: existe un entero positivo $N$ tal que $p$ divide a $2(f(p)!)+1$ para todo número primo $p>N$ para el cual $f(p)$ es un entero positivo. Nota: Un polinomio mónico tiene un coeficiente principal igual a 1. (Grecia - Panagiotis Lolas y Silouanos Brazitikos)