2 Suponga que se dan $997$ puntos en un plano. Si cada dos puntos están unidos por un segmento de recta cuyo punto medio está coloreado de rojo, demuestre que hay al menos $1991$ puntos rojos en el plano. ¿Puede encontrar un caso especial con exactamente $1991$ puntos rojos?

2 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Sean $E$ y $F$ puntos sobre $BC$, tales que los ángulos $BAE$ y $FAC$ son iguales. Las rectas $AE$ y $AF$ intersecan al circuncírculo de $ABC$ en los puntos $M$ y $N$. Sobre los rayos $AB$ y $AC$ tenemos puntos $P$ y $R$, tales que el ángulo $PEA$ es igual al ángulo $B$ y el ángulo $AER$ es igual al ángulo $C$. Sea $L$ la intersección de $AE$ y $PR$, y sea $D$ la intersección de $BC$ y $LN$. Demuestre que $$\frac{1}{|MN|}+\frac{1}{|EF|}=\frac{1}{|ED|}.$$

3 Sea $ABCD$ un rectángulo y $P$ un punto fuera de él tal que $\angle{BPC} = 90^{\circ}$ y el área del pentágono $ABPCD$ es igual a $AB^{2}$. Demuestre que $ABPCD$ puede dividirse en 3 piezas mediante cortes rectos de tal manera que se pueda construir un cuadrado usando esas 3 piezas, sin dejar huecos ni superponer las piezas. Nota: las piezas pueden rotarse y voltearse.

6 Dado un rectángulo $ABCD$. Los puntos $E$ y $F$ se encuentran sobre los lados $BC$ y $CD$ respectivamente, de tal manera que el área de los triángulos $ABE$, $ECF$ y $FDA$ es igual a $1$. Determine el área del triángulo $AEF$.

5 Sea $ABCD$ un cuadrilátero inscrito en una circunferencia con centro $O$ tal que este se encuentra dentro de $ABCD$ y $\angle{BAC} = \angle{ODA}$. Sea $E$ la intersección de $AC$ con $BD$. Se trazan las rectas $r$ y $s$ que pasan por $E$ tales que $r$ es perpendicular a $BC$ y $s$ es perpendicular a $AD$. Sea $P$ la intersección de $r$ con $AD$, y $M$ la intersección de $s$ con $BC$. Sea $N$ el punto medio de $EO$. Demuestre que $M$, $N$ y $P$ están alineados.

2 En un círculo $C$ con centro $O$ y radio $r$, sean $C_1$, $C_2$ dos círculos con centros $O_1$, $O_2$ y radios $r_1$, $r_2$ respectivamente, tales que cada círculo $C_i$ es tangente internamente a $C$ en $A_i$ y tales que $C_1$, $C_2$ son tangentes externamente entre sí en $A$. Demuestre que las tres rectas $OA$, $O_1 A_2$ y $O_2 A_1$ son concurrentes.

4 Demuestre que el número $n^{2} - 2^{2014}\times 2014n + 4^{2013} (2014^{2}-1)$ no es primo, donde $n$ es un entero positivo.

8 Llamamos a un entero positivo $\textit{cheesy}$ si podemos obtener el promedio de los dígitos en su representación decimal colocando un separador decimal después del dígito más a la izquierda. Demuestre que solo existe una cantidad finita de números $\textit{cheesy}$.

1 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico que no es un trapecio y cuyas diagonales se cortan en $E$. Los puntos medios de $AB$ y $CD$ son $F$ y $G$ respectivamente, y $\ell$ es la recta que pasa por $G$ y es paralela a $AB$. Los pies de las perpendiculares desde $E$ a las rectas $\ell$ y $CD$ son $H$ y $K$, respectivamente. Demuestre que las rectas $EF$ y $HK$ son perpendiculares.

1 Dos círculos $G_1$ y $G_2$ se cortan en dos puntos $M$ y $N$. Sea $AB$ la recta tangente a estos círculos en $A$ y $B$, respectivamente, de modo que $M$ se encuentre más cerca de $AB$ que $N$. Sea $CD$ la recta paralela a $AB$ que pasa por el punto $M$, con $C$ en $G_1$ y $D$ en $G_2$. Las rectas $AC$ y $BD$ se cortan en $E$; las rectas $AN$ y $CD$ se cortan en $P$; las rectas $BN$ y $CD$ se cortan en $Q$. Demuestre que $EP = EQ$. Valentin