Los números del $1$ al $2014$ están escritos en una pizarra. Una operación válida consiste en borrar dos números $a$ y $b$ de la pizarra y reemplazarlos por el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de $a$ y $b$. Demuestre que, sin importar cuántas operaciones se realicen, la suma de todos los números que permanecen en la pizarra es siempre mayor que $2014$ $\times$ $\sqrt[2014]{2014!}$

7 Determine todas las funciones $f : \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ tales que $f$ es creciente (no necesariamente de forma estricta) y los números $f(n)+n+1$ y $f(f(n))-f(n)$ son ambos cuadrados perfectos para todo entero positivo $n$.

1 Dado un par $(a_0, b_0)$ de números reales, definimos dos sucesiones $a_0, a_1, a_2, \dots$ y $b_0, b_1, b_2, \dots$ de números reales mediante $a_{n+1}= a_n + b_n$ y $b_{n+1}=a_nb_n$ para todo $n = 0, 1, 2, \dots$. Encuentre todos los pares $(a_0, b_0)$ de números reales tales que $a_{2022}= a_0$ y $b_{2022}= b_0$.

4 Sea $n$ un entero positivo. Se nos da una tabla de $2n \times 2n$. Cada celda está coloreada con uno de $2n^2$ colores de tal manera que cada color se utiliza exactamente dos veces. Jana se encuentra en una de las celdas. Hay una barra de chocolate en una de las otras celdas. Jana desea llegar a la celda con la barra de chocolate. En cada paso, ella solo puede moverse de una de las siguientes dos maneras: o camina a una celda adyacente o se teletransporta a la otra celda con el mismo color que su celda actual. (Jana puede moverse a una celda adyacente del mismo color ya sea caminando o teletransportándose). Determine si Jana puede cumplir su deseo, independientemente de la configuración inicial, si tiene que alternar entre las dos formas de moverse y debe comenzar con una teletransportación.

3 Sea $n$ un entero positivo. Hay $n$ vacas moradas y $n$ vacas blancas haciendo fila en algún orden. Tim desea ordenar las vacas por color, de tal manera que todas las vacas moradas estén al frente de la fila. En cada paso, solo se le permite intercambiar dos grupos adyacentes de igual número de vacas consecutivas. ¿Cuál es el número mínimo de pasos que Tim necesita para poder cumplir su deseo, independientemente de la alineación inicial de las vacas?

3 Sea $n$ un entero positivo. Existen $n$ ternas ordenadas $$(x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2), \dots, (x_n, y_n, z_n)$$ donde cada coordenada es un entero entre $1$ y $100$ (inclusive), que satisfacen la siguiente condición: Para toda sucesión infinita $(a_1, a_2, a_3, \dots)$ de enteros entre $1$ y $100$, existen un entero positivo $i$ y un índice $j$ (con $1 \leqslant j \leqslant n$) tales que $(a_i, a_{i+1}, a_{i+2}) = (x_j, y_j, z_j)$. Determine el valor mínimo posible de $n$.

2 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncentro $O$. Sean $O_1$ y $O_2$ los circuncentros de los triángulos $ABO$ y $ACO$, respectivamente. El circuncírculo del $\triangle AO_1O_2$ corta al segmento $BC$ en dos puntos distintos $P$ y $Q$, de tal manera que los cuatro puntos $B, P, Q, C$ aparecen en este orden a lo largo de $BC$. Sea $O_3$ el circuncentro del $\triangle OPQ$. Demuestre que los puntos $A, O, O_3$ son colineales.

3 En una tienda de mascotas, cuatro aviarios dispuestos en círculo contienen $222$ loros cada uno. A veces, una zoóloga toma un loro de un aviario y lo deja libre; junto con él, deja libre ya sea un loro del aviario opuesto, o dos loros del aviario a la izquierda, o tres loros del aviario a la derecha. En cierto momento, solo un aviario todavía contiene loros. ¿Cuál es el menor número posible de loros restantes?

Una tabla de $5 \times 5$ se llama regular si cada una de sus celdas contiene uno de cuatro números reales distintos entre sí, tales que cada uno de ellos aparece exactamente una vez en cada subtabla de $2 \times 2$. La suma de todos los números de una tabla regular se llama suma total de la tabla. Con cualesquiera cuatro números, se construyen todas las tablas regulares posibles, se calculan sus sumas totales y se cuenta el número de resultados distintos. Determine el máximo conteo posible.

3 ¿Para qué números reales $k > 1$ existe un conjunto acotado de números reales positivos $S$ con al menos $3$ elementos tal que $$k(a - b)\in S$$ para todo $a,b\in S$ con $a > b$? Observación: Un conjunto de números reales positivos $S$ es acotado si existe un número real positivo $M$ tal que $x < M$ para todo $x \in S.$