5 Vero tenía un triángulo isósceles hecho de papel. Usando tijeras, lo dividió en tres triángulos más pequeños y los pintó de azul, rojo y verde. Tras hacerlo, observó que: $\bullet$ con el triángulo azul y el triángulo rojo se puede formar un triángulo isósceles, $\bullet$ con el triángulo azul y el triángulo verde se puede formar un triángulo isósceles, $\bullet$ con el triángulo rojo y el triángulo verde se puede formar un triángulo isósceles. Demuestre cómo era el triángulo de Vero y cómo pudo haber hecho los cortes para que esta situación fuera posible.

5 Veintiséis personas se reúnen en una casa. Alicia es amiga de solo una persona, Bruno es amigo de dos personas, Carlos es amigo de tres, Daniel de cuatro, Elías de cinco, y así sucesivamente, cada persona es amiga de una persona más que la anterior, hasta llegar a Yvonne, la persona número veinticinco, quien es amiga de todos. ¿De cuántas personas es amiga Zoila, la persona número veintiséis? Aclaración: Si $A$ es amigo de $B$, entonces $B$ es amigo de $A$.

2 Suponga que se dan $997$ puntos en un plano. Si cada dos puntos están unidos por un segmento de recta cuyo punto medio está coloreado de rojo, demuestre que hay al menos $1991$ puntos rojos en el plano. ¿Puede encontrar un caso especial con exactamente $1991$ puntos rojos?

1 Pedro tiene una baraja de $1001$ cartas, y con un bolígrafo azul ha escrito los números $1, 2, \ldots, 1001$ en las cartas (un número en cada carta). Colocó las cartas en un círculo de manera que los números azules quedaran en la cara inferior de la carta. Luego, para cada carta $C$, tomó $500$ cartas consecutivas que siguen a $C$ (en sentido horario) y denotó por $f(C)$ la cantidad de números azules escritos en esas $500$ cartas que son mayores que el número azul escrito en la propia carta $C$. Finalmente, escribió este número $f(C)$ en la cara superior de la carta $C$ con un bolígrafo rojo. Demuestre que el amigo de Pedro, Basilio, quien ve todos los números rojos en estas cartas, puede determinar el número azul de cada carta.

2 Sea $P$ el producto de todos los polinomios ciclotómicos mónicos de grado $24$. Defina el operador $T_{2}(L(z)):= \displaystyle \prod_{i=1}^{N} (z-\alpha_{i}^{2})$ para todo entero positivo $N$ y para cada $L(z):= \displaystyle \prod_{i=1}^{N} (z-\alpha_{i})$. Encuentre el entero más pequeño $k \ge 0$ tal que $T_{2}^{k}(P)=T_{2}^{k+1}(P)$.

5 Encuentre una sucesión de longitud máxima que consista en enteros distintos de cero en la cual la suma de cualesquiera siete términos consecutivos sea positiva y la de cualesquiera once términos consecutivos sea negativa.

1 Sea $n\geq 3$ un entero positivo. Alice y Bob juegan un juego en el que se turnan para colorear los vértices de un $n$-gono regular. Alice realiza el primer movimiento. Inicialmente, ningún vértice está coloreado. Ambos jugadores comienzan el juego con $0$ puntos. En su turno, un jugador colorea un vértice $V$ que no ha sido coloreado y gana $k$ puntos, donde $k$ es el número de vértices adyacentes a $V$ que ya están coloreados. (Por lo tanto, $k$ es $0$, $1$ o $2$). El juego termina cuando todos los vértices han sido coloreados y el jugador con más puntos gana; si tienen la misma cantidad de puntos, nadie gana. Determine todos los $n\geq 3$ para los cuales Alice tiene una estrategia ganadora y todos los $n\geq 3$ para los cuales Bob tiene una estrategia ganadora.

1 Encuentre todos los pares de números positivos tales que la última cifra de su suma sea 3, su diferencia sea un número primo y su producto sea un cuadrado perfecto.

1 Sea $$\mathcal{S} :=\{g| g \hspace{0.1cm} \text{es una función } \hspace{0.1cm} C^{2026} \hspace{0.1cm} \text{en} \hspace{0.1cm} \mathbb{R} \hspace{0.1cm} \text{tal que} \hspace{0.1cm}g^{(2026)}(x)=g(g(x))\}$$ Aquí $g^{(2026)}$ es la derivada $2026$-ésima de $g$. Suponga que para $f \in \mathcal{S}$ se da que $f\left(\frac{1}{2^{n}}\right)=0 \hspace{0.1cm} \forall \hspace{0.1cm} n \in \mathbb{N},$ ¿cuál es el valor de $f(e+\pi)?$

3 Demuestre que existen infinitos enteros positivos $x,y,z$ para los cuales la suma de los dígitos en la representación decimal de $~4x^4+y^4-z^2+4xyz$ $~$ es a lo sumo $2$. (Propuesto por Gerhard Woeginger, Austria)