22 Sea $n$ un entero positivo que tiene al menos dos factores primos distintos. Demuestra que existe una permutación $a_1, a_2, \dots , a_n$ de los enteros $1, 2, \dots , n$ tal que \[\sum_{k=1}^{n} k \cdot \cos \frac{2 \pi a_k}{n}=0.\] Amir

23 Sea $A$ uno de los dos puntos distintos de intersección de dos circunferencias coplanares desiguales $C_1$ y $C_2$ con centros $O_1$ y $O_2$ respectivamente. Una de las tangentes comunes a las circunferencias toca a $C_1$ en $P_1$ y a $C_2$ en $P_2$, mientras que la otra toca a $C_1$ en $Q_1$ y a $C_2$ en $Q_2$. Sea $M_1$ el punto medio de $P_1Q_1$ y $M_2$ el punto medio de $P_2Q_2$. Demuestra que $\angle O_1AO_2=\angle M_1AM_2$.

24 Sea $d_n$ el último dígito distinto de cero de la representación decimal de $n!$. Demuestra que $d_n$ es aperiódico; es decir, no existen $T$ y $n_0$ tales que para todo $n \geq n_0$, $d_{n+T} = d_n$. Amir

25. Demuestra que toda partición del espacio tridimensional en tres subconjuntos disjuntos tiene la siguiente propiedad: uno de estos subconjuntos contiene todas las distancias posibles; es decir, para cada $a \in \mathbb R^+$, existen puntos $M$ y $N$ dentro de ese subconjunto tales que la distancia entre $M$ y $N$ es exactamente $a.$ Amir

1 $ ABC$ es un triángulo, la bisectriz del ángulo $ A$ corta a la circunferencia circunscrita del triángulo $ ABC$ en $ A_1$ , los puntos $ B_1$ y $ C_1$ se definen de manera similar. Sea $ AA_1$ que corta a las líneas que bisecan los dos ángulos externos en $ B$ y $ C$ en $ A_0$ . Define $ B_0$ y $ C_0$ de manera similar. Demuestra que el área del triángulo $ A_0B_0C_0 = 2 \cdot$ área del hexágono $ AC_1BA_1CB_1 \geq 4 \cdot$ área del triángulo $ ABC$ .

2 Ali Barber, el comerciante de alfombras, tiene una pieza rectangular de alfombra cuyas dimensiones son desconocidas. Desafortunadamente, su cinta métrica está rota y no tiene otros instrumentos de medición. Sin embargo, descubre que si la coloca plana en el piso de cualquiera de sus almacenes, entonces cada esquina de la alfombra toca una pared diferente de esa habitación. Si las dos habitaciones tienen dimensiones de 38 pies por 55 pies y 50 pies por 55 pies, ¿cuáles son las dimensiones de la alfombra?

1 Sea $A$ un subconjunto de $101$ elementos del conjunto $S=\{1,2,\ldots,1000000\}$ . Demuestre que existen números $t_1$ , $t_2, \ldots, t_{100}$ en $S$ tales que los conjuntos \[ A_j=\{x+t_j\mid x\in A\},\qquad j=1,2,\ldots,100 \] son disjuntos dos a dos.

19 Sea $ \alpha$ un número racional con $ 0 < \alpha < 1$ y $ \cos (3 \pi \alpha) + 2\cos(2 \pi \alpha) = 0$ . Demuestre que $ \alpha = \frac {2}{3}$ .

8 Sea $ S$ un conjunto de $ n$ puntos del plano. No hay tres puntos de $ S$ colineales. Demuestre que existe un conjunto $ P$ que contiene $ 2n - 5$ puntos y que satisface la siguiente condición: En el interior de todo triángulo cuyos tres vértices son elementos de $ S$ hay un punto que es elemento de $ P.$

53 Determine todas las ternas $(a, b, c)$ de números reales positivos tales que el sistema \[ax + by -cz = 0,\] \[a \sqrt{1-x^2}+b \sqrt{1-y^2}-c \sqrt{1-z^2}=0,\] sea compatible en el conjunto de los números reales, y luego halle todas sus soluciones reales. Amir