6 Demuestre que $\lfloor{\sqrt{9n+7}}\rfloor=\lfloor{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2}}\rfloor$ para todo entero positivo $n$.

3 Sea $ X$ un conjunto de 10,000 enteros, ninguno de los cuales es divisible por 47. Demuestre que existe un subconjunto $ Y$ de $ X$ de 2007 elementos tal que $ a - b + c - d + e$ no es divisible por 47 para cualesquiera $ a,b,c,d,e \in Y.$ Autor: Gerhard Wöginger, Países Bajos

6 Alice y Bob juegan ahora a un espectáculo de magia. Hay $101$ sombreros diferentes sobre la mesa y forman un círculo. En primer lugar, Bob elige un entero positivo $n$ (Alice no lo conoce). Luego, Bob coloca un conejo debajo de uno de los sombreros y Alice no sabe qué sombrero contiene al conejo. Cada vez, ella puede elegir un sombrero y ver si el conejo está debajo de él. Si no es así, Bob moverá el conejo del sombrero actual al $n$-ésimo sombrero en sentido horario. Repetirán estos pasos hasta que Alice encuentre al conejo. Demuestre que Alice puede encontrar al conejo en $201$ pasos.

12.4 Encuentre todos los pares de enteros positivos $(n, k)$ tales que todos los enteros positivos impares $m$ suficientemente grandes son representables como $$m=a_1^{n^2}+a_2^{(n+1)^2}+\ldots+a_k^{(n+k-1)^2}+a_{k+1}^{(n+k)^2}$$ para algunos enteros no negativos $a_1, a_2, \ldots, a_{k+1}$.

Cuatro puntos $A, B, C$ y $D$ yacen sobre un círculo, en ese orden en sentido horario, tales que existe un punto $E$ en el segmento $CD$ con la propiedad de que $AD = DE$ y $BC = EC$. Demuestre que el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos $\angle DAB$ y $\angle ABC$ se encuentra sobre la recta $CD$.

9.4 Se da un $K_{2024}$ en el cual cada arista tiene peso $1$ o $2$. Si todo ciclo tiene un peso total par, encuentre el valor mínimo de la suma de todos los pesos en el grafo.

1 Se nos da un entero positivo $ r$ y un tablero rectangular $ ABCD$ con dimensiones $ AB = 20, BC = 12$. El rectángulo está dividido en una cuadrícula de $ 20 \times 12$ cuadrados unitarios. Se permiten los siguientes movimientos en el tablero: uno puede moverse de un cuadrado a otro solo si la distancia entre los centros de los dos cuadrados es $ \sqrt {r}$. La tarea consiste en encontrar una sucesión de movimientos que lleve desde el cuadrado que tiene a $ A$ como vértice hasta el cuadrado que tiene a $ B$ como vértice. (a) Demuestre que la tarea no puede realizarse si $ r$ es divisible por 2 o 3. (b) Demuestre que la tarea es posible cuando $ r = 73$. (c) ¿Puede realizarse la tarea cuando $ r = 97$?

2 Demuestre que existe una sucesión infinita estrictamente creciente de números naturales tal que $\forall k \in \mathbb{N}$, tanto $a_k a_{k+1}+1$ como $a_k+1$ son cuadrados.

8 Dado un entero positivo $n \geq 2$. Sean $a_{ij}$ $(1 \leq i,j \leq n)$ $n^2$ números reales no negativos cuya suma es $1$. Para $1\leq i \leq n$, defina $R_i=max_{1\leq k \leq n}(a_{ik})$. Para $1\leq j \leq n$, defina $C_j=min_{1\leq k \leq n}(a_{kj})$. Encuentre el valor máximo de $C_1C_2 \cdots C_n(R_1+R_2+ \cdots +R_n)$.

3 Sean $ k,m,n$ enteros tales que $ 1 < n \leq m - 1 \leq k.$ Determine el tamaño máximo de un subconjunto $ S$ del conjunto $ \{1,2,3, \ldots, k-1,k\}$ tal que no existan $ n$ elementos distintos de $ S$ que sumen $ m.$