2 Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$. El círculo de centro $I$ que pasa por $B$ corta a $AC$ en los puntos $E$ y $F$, con $E$ y $F$ entre $A$ y $C$ y distintos entre sí. El círculo circunscrito al triángulo $IEF$ corta a los segmentos $EB$ y $FB$ en $Q$ y $R$, respectivamente. La recta $QR$ corta a los lados $AB$ y $BC$ en $P$ y $S$, respectivamente. Si $a$, $b$ y $c$ son las medidas de los lados $BC$, $CA$ y $AB$, respectivamente, calcule las medidas de $BP$ y $BS$.

1 Determine los valores de $n \in \mathbb{N}$ tales que un cuadrado de lado $n$ puede ser dividido en un cuadrado de lado $1$ y cinco rectángulos cuyas medidas de lado son $10$ números naturales distintos y todos mayores que $1$.

4 Encuentre todas las funciones $f:Z\to Z$ con la siguiente propiedad: si $x+y+z=0$, entonces $f(x)+f(y)+f(z)=xyz.$

20 Sea $S$ un conjunto de 1980 puntos en el plano tal que la distancia entre cada par de ellos es al menos 1. Demuestre que $S$ tiene un subconjunto de 220 puntos tal que la distancia entre cada par de ellos es al menos $\sqrt{3}.$

3 Sea $p > 3$ un número primo y $x$ un entero, denotamos por $r(x) \in \{0, 1, ..., p - 1\}$ al resto de $x$ módulo $p$. Sean $x_1, x_2, ..., x_k$ ($2 < k < p$) enteros distintos módulo $p$ y no divisibles por $p$. Decimos que un número $a \in \{1, 2, ..., p - 1\}$ es bueno si $r(a x_1) < r(a x_2) < ... < r(a x_k)$. Demuestre que hay a lo sumo $\frac{2p}{k + 1} - 1$ números buenos.

21 Sea $AB$ un diámetro de un círculo; sean $t_1$ y $t_2$ las tangentes en $A$ y $B$, respectivamente; sea $C$ cualquier punto distinto de $A$ en $t_1$; y sean $D_1D_2$ y $E_1E_2$ arcos en el círculo determinados por dos rectas que pasan por $C$. Demuestre que las rectas $AD_1$ y $AD_2$ determinan un segmento sobre $t_2$ de igual longitud que el segmento sobre $t_2$ determinado por $AE_1$ y $AE_2$.

1.3 Demuestre que la ecuación $a^2 - b^2=ab - 1$ tiene infinitas soluciones, si $a,b$ son enteros positivos

3 Suponga que se trazan \( n > 10 \) líneas en el plano tales que no hay tres de ellas concurrentes y no hay dos paralelas. Al menos \( \frac{n^2}{8} + 1 \) de las regiones acotadas formadas están coloreadas de negro. Un triángulo formado por tres líneas se denomina \textit{triángulo bueno} si se encuentra completamente dentro de una región negra. Demuestre que existen al menos \( \frac{n}{2} \) triángulos buenos. (Un triángulo bueno es una región acotada con área finita.) Propuesto por Mehran Talaei

6 Sea $n > 2$ un número natural. Se dice que un subconjunto $A$ de $R$ es $n$-pequeño si existen $n$ números reales $t_1, t_2, ..., t_n$ tales que los conjuntos $t_1 + A, t_2 + A, ..., t_n + A$ son distintos. Demuestre que $R$ no puede representarse como una unión de $n - 1$ conjuntos $n$-pequeños. Notación: si $r \in R$ y $B \subset R$, entonces $r + B = \{ r + b \mid b \in B\}$.

466 Dada una sucesión de $19$ enteros positivos que no exceden $88$ y otra sucesión de $88$ enteros positivos que no exceden $19$. Demuestre que podemos encontrar dos subsecuencias de términos consecutivos, una de cada sucesión, con la misma suma.