3 Suponga que se trazan \( n > 10 \) líneas en el plano tales que no hay tres de ellas concurrentes y no hay dos paralelas. Al menos \( \frac{n^2}{8} + 1 \) de las regiones acotadas formadas están coloreadas de negro. Un triángulo formado por tres líneas se denomina \textit{triángulo bueno} si se encuentra completamente dentro de una región negra. Demuestre que existen al menos \( \frac{n}{2} \) triángulos buenos. (Un triángulo bueno es una región acotada con área finita.) Propuesto por Mehran Talaei

6 Sea $n > 2$ un número natural. Se dice que un subconjunto $A$ de $R$ es $n$-pequeño si existen $n$ números reales $t_1, t_2, ..., t_n$ tales que los conjuntos $t_1 + A, t_2 + A, ..., t_n + A$ son distintos. Demuestre que $R$ no puede representarse como una unión de $n - 1$ conjuntos $n$-pequeños. Notación: si $r \in R$ y $B \subset R$, entonces $r + B = \{ r + b \mid b \in B\}$.

1.3 Demuestre que la ecuación $a^2 - b^2=ab - 1$ tiene infinitas soluciones, si $a,b$ son enteros positivos

444 El juego de "Batalla naval". a) Usted intenta encontrar el barco de $4$ casillas, un rectángulo de $1x4$, situado en un tablero de juego de $7x7$. Se le permite hacer la pregunta de si ocupa una casilla en particular o no. ¿Cuántas preguntas es necesario hacer para encontrar ese barco con seguridad? b) La misma pregunta, pero el barco es un conjunto conexo (es decir, sus casillas tienen lados comunes) de $4$ casillas.

463 Un libro contiene $30$ historias. Cada historia tiene un número diferente de páginas menor que $31$. La primera historia comienza en la página $1$ y cada historia comienza en una página nueva. ¿Cuál es el mayor número posible de historias que pueden comenzar en números de página impares?

397 ¿Cuál es el número máximo de fichas de damas que se pueden colocar en un tablero de ajedrez de $8\times 8$ de tal manera que cada ficha pueda ser capturada por al menos otra ficha?

6 Encuentre los dígitos a la izquierda y a la derecha del punto decimal en la forma decimal del número \[ (\sqrt{2} + \sqrt{3})^{1980}. \]

17 Sea $A_1A_2A_3$ un triángulo y, para $1 \leq i \leq 3$, sea $B_i$ un punto interior del lado opuesto a $A_i$. Demuestre que las mediatrices de $A_iB_i$ para $1 \leq i \leq 3$ no son concurrentes.

2 Alice y Bob juegan en un tablero infinito formado por triángulos equiláteros. En cada turno, Alice coloca primero una ficha blanca en una celda desocupada y, luego, Bob coloca una ficha negra en una celda desocupada. El objetivo de Alice es tener eventualmente $k$ fichas blancas en una línea. Determine el valor máximo de $k$ para el cual Alice puede lograr esto sin importar cómo juegue Bob. Propuesto por Oriol Solé

3 Sea $N \geqslant 2024!$ un entero positivo. Alice y Bob juegan el siguiente juego, en el cual Alice comienza y luego alternan turnos. Ellos determinan los números $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_{2025}$ de la siguiente manera. En el turno $k$-ésimo, el jugador a quien le corresponde el turno elige $a_{k-1}$ como un entero tal que: $\bullet$ $1 \leqslant a_{k-1} \leqslant N$ $\bullet$ Existe un polinomio $P$ con coeficientes enteros tal que $P(i) = a_i$ para $0 \leqslant i \leqslant k-1$. Alice gana si y solo si Bob no puede elegir un valor en uno de sus turnos, es decir, $a_1, a_3, \ldots$. En particular, ella también pierde si Bob es capaz de elegir $a_{2025}$ exitosamente. Determine todos los valores de $N$ para los cuales Alice puede asegurar que ganará independientemente de la estrategia de Bob. Propuesto por Atul Shatavart Nadig y Rohan Goyal Rijul