2 \[\left\{\begin{array}{c}f(x,f(y,z))+f(f(x,y),z)=2y\\f(x,f(x,y))=y\end{array}\right.\qquad \forall x,y\in\mathbb R\] Encuentre todas las funciones $f\colon\mathbb R^2\to\mathbb R$ que satisfacen las condiciones.

2 Suponga que \( p \) es un número primo. Tenemos una cantidad de cartas, cada una de las cuales tiene un número escrito de tal manera que cada uno de los números \( 1, \dots, p-1 \) aparece a lo sumo una vez y el $0$ aparece exactamente una vez. Para diseñar un juego, para cada par de cartas \( x \) e \( y \), queremos determinar qué carta gana sobre la otra. Deben satisfacerse las siguientes condiciones: $a)$ Si la carta \( x \) gana sobre la carta \( y \), y la carta \( y \) gana sobre la carta \( z \), entonces la carta \( x \) también debe ganar sobre la carta \( z \). $b)$ Si la carta \( x \) no gana sobre la carta \( y \), y la carta \( y \) no gana sobre la carta \( z \), entonces para cualquier carta \( t \), la carta \( x + z \) no debe ganar sobre la carta \( y + t \). ¿Cuál es el número máximo de cartas tal que el juego pueda ser diseñado (es decir, una carta no derrota a otra a menos que la victoria sea simétrica o consistente)? Propuesto por Ali Partofard

11 Hay \( n \) tazas etiquetadas \( 1, 2, \dots, n \), donde la \( i \)-ésima taza tiene una capacidad de \( i \) litros. En total, hay \( n \) litros de agua distribuidos entre estas tazas de tal manera que cada taza contiene una cantidad entera de agua. En cada paso, podemos transferir agua de una taza a otra. El proceso continúa hasta que la taza de origen se vacía o la taza de destino se llena. $a)$ Demuestre que, a partir de cualquier configuración donde cada taza contiene una cantidad entera de agua, es posible llegar a una configuración en la que cada taza contiene exactamente 1 litro de agua en a lo sumo \( \frac{4n}{3} \) pasos. $b)$ Demuestre que, en a lo sumo \( \frac{5n}{3} \) pasos, se puede pasar de cualquier configuración con cantidades enteras de agua a cualquier otra configuración con la misma propiedad. Propuesto por Ehsan Heidari

Un grafo tiene $30$ puntos y cada punto tiene $6$ aristas. Encuentre el número total de ternas tales que cada par de puntos esté unido o cada par de puntos no esté unido.

514 ¿Existe un rectángulo que pueda ser disecado en $15$ polígonos congruentes que no sean rectángulos? ¿Puede un cuadrado ser disecado en $15$ polígonos congruentes que no sean rectángulos?

535 Encuentre todos los enteros $a, b, c, d$ tales que $$\begin{cases} ab - 2cd = 3 \\ ac + bd = 1\end{cases}$$

536 números $n$ están escritos en una pizarra. Alguien borra repetidamente dos números y escribe en su lugar la mitad de su media aritmética, hasta que solo queda un único número. Si todos los números originales eran $1$, demuestre que el número final no es menor que $\frac{1}{n}$.

558 Demuestre que $x^4 + y^4 + z^2\ge xyz \sqrt8$ para todos los números reales positivos $x, y, z$.

559 $E$ es un punto en la diagonal $BD$ del cuadrado $ABCD$. Demuestre que los puntos $A, E$ y los circuncentros de $ABE$ y $ADE$ forman un cuadrado.

511 Demuestre que $x^4 > x - \frac12$ para todo número real $x$.