8 Un entero $n$ se llama silesiano si existen enteros positivos $a, b$ y $c$ tales que $$n=\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}.$$ $(a)$ Demuestre que existen infinitos enteros silesianos. $(b)$ Demuestre que no todo entero positivo es silesiano.

6 Se da un cuadrilátero convexo $V_0$ con vértices $A, B, C, D$ (todos sus ángulos internos son menores que $180^o$) y un punto $P$ en el interior de $V_0$ tal que las proyecciones normales de $P$ sobre los lados del cuadrilátero $V_0$ se encuentran dentro de los segmentos $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ y forman un cuadrilátero $V_1$ con vértices $A_1, B_1, C_1, D_1$. Construya de manera similar a partir de $V_1$ un cuadrilátero $V_2$, etc., y demuestre que $V_4$ es semejante a $V_0$.

3 Encuentre todos los pares ordenados $(a,b)$ de enteros positivos para los cuales los números $\dfrac{a^3b-1}{a+1}$ y $\dfrac{b^3a+1}{b-1}$ son ambos enteros positivos.

3 Encuentre todos los $ a, b, c \in \mathbb{Z} $ , $ c \ge 0 $ tales que $ a^n + 2^n | b^n + c $ para todo entero positivo $ n $ donde $ 2ab $ no es un cuadrado.

1 Encuentre el número máximo de celdas que pueden ser coloreadas en un tablero de $4\times 3000$ de tal manera que no se forme ningún tetrominó. Propuesto por Arian Zamani, Matin Yousefi. Clasificación 5

3 Alice y Bob juegan el siguiente juego en una cuadrícula cuadrada con $2024 \times 2024$ cuadrados unitarios. Se turnan para cubrir cuadrados unitarios con pegatinas que incluyen sus nombres. Alice juega los turnos impares y Bob juega los turnos pares. En el turno $k$-ésimo, sea $n_k$ el menor entero tal que $n_k\geqslant\tfrac{k}{2024}$. Si hay al menos un cuadrado sin pegatina, entonces el jugador que toma el turno: selecciona como máximo $n_k$ cuadrados unitarios en la cuadrícula de tal manera que al menos uno de los cuadrados unitarios elegidos no tenga una pegatina. Cubre cada uno de los cuadrados unitarios seleccionados con una pegatina que tiene su nombre. Si un cuadrado seleccionado ya tiene una pegatina, entonces esa pegatina se retira primero. Al final de su turno, un jugador gana si existen $123$ cuadrados unitarios que contienen pegatinas con el nombre de ese jugador que están colocados en cuadrados unitarios consecutivos horizontal, vertical o diagonalmente. Consideramos que el juego es un empate si todos los cuadrados unitarios están cubiertos pero ningún jugador ha ganado todavía. ¿Tiene Alice una estrategia ganadora? Propuesto por Erik Paemurru, Estonia

5 Sea $a_0 = 0 < a_1 < ... < a_{2n} = 1$. Sea $A$ la unión de todos los intervalos $(a_{2k}, a_{2k+1})$ donde $k$ toma valores desde $0$ hasta $n-1$. Sea $B$ la unión de todos los intervalos $(a_{2k-1}, a_{2k})$ donde $k$ toma valores desde $1$ hasta $n$. Sea $f$ una función continua que mapea el intervalo $[0, 1]$ en el intervalo $[0, 1]$ y posee la siguiente propiedad: Si $x \in A$ entonces $f(x) \in B$ y si $x \in B$, entonces $f(x) \in A$. Demuestre que existe al menos un $i$ tal que $a_i = f(a_i)$.

4 Arnaldo selecciona un entero no negativo $a$ y Bernaldo selecciona un entero no negativo $b$. Ambos le dicen secretamente su número a Cernaldo, quien escribe los números $5$, $8$ y $15$ en la pizarra, siendo uno de ellos la suma $a+b$. Cernaldo hace sonar una campana y Arnaldo y Bernaldo, individualmente, escriben en diferentes trozos de papel si saben o no cuál de los números en la pizarra es la suma $a+b$ y se los entregan a Cernaldo. Si ambos papeles dicen NO, Cernaldo hace sonar la campana de nuevo y el proceso se repite. Se sabe que tanto Arnaldo como Bernaldo son honestos e inteligentes. ¿Cuál es el número máximo de veces que puede sonar la campana hasta que uno de ellos conozca la suma? Nota personal: Realmente se esforzaron poco con los nombres ahí...

013 Dados los puntos $A', B', C', D'$ en la prolongación de los lados $[AB], [BC], [CD], [DA]$ del cuadrilátero convexo $ABCD$, tales que los siguientes pares de vectores son iguales: $$[BB']=[AB], [CC']=[BC], [DD']=[CD], [AA']=[DA].$$ Demuestre que el área del cuadrilátero $A'B'C'D'$ es cinco veces mayor que el área del cuadrilátero $ABCD$.

6 Sean $m$ y $n$ enteros positivos. En un tablero de ajedrez de $m\times{n}$, dividido en cuadrados de $1\times1$, consideramos todos los caminos que van desde el vértice superior derecho hasta el vértice inferior izquierdo, viajando exclusivamente por las líneas de la cuadrícula y moviéndose solo hacia abajo o hacia la izquierda. Definimos el área de un camino como el número de cuadrados en el tablero de ajedrez que están por debajo de dicho camino. Sea $p$ un número primo tal que $r_{p}(m)+r_{p}(n)\geq{p}$, donde $r_{p}(m)$ denota el resto cuando $m$ se divide por $p$ y $r_{p}(n)$ denota el resto cuando $n$ se divide por $p$. ¿Cuántos caminos tienen un área que es múltiplo de $p$?