1 Maxi eligió $3$ dígitos y, al escribir todas las permutaciones posibles de estos dígitos, obtuvo $6$ números de $3$ dígitos distintos. Si exactamente uno de esos números es un cuadrado perfecto y exactamente tres de ellos son primos, encuentre los $3$ dígitos de Maxi. Dé todas las posibilidades para los $3$ dígitos.

Ocho hombres participaron en el torneo de ajedrez. (Cada uno se enfrenta a cada uno, los empates están permitidos, otorgando $1/2$ de punto, el ganador obtiene $1$). Todos tienen un número diferente de puntos. El segundo obtuvo tantos puntos como los cuatro participantes más débiles juntos. ¿Cuál fue el resultado de la partida entre el tercer clasificado y el ajedrecista que ocupó el séptimo lugar?

029 a) Cada diagonal del cuadrilátero divide su área a la mitad. Demuestre que es un paralelogramo. b) Las tres diagonales principales del hexágono dividen su área a la mitad. Demuestre que se intersecan en un punto.

6 Sea $a\equiv 1\pmod{4}$ un entero positivo. Demuestre que cualquier polinomio $Q\in\mathbb{Z}[X]$ con todos sus coeficientes positivos tal que $$Q(n+1)((a+1)^{Q(n)}-a^{Q(n)})$$ sea un cuadrado perfecto para todo $n\in\mathbb{N}^{\ast}$ debe ser un polinomio constante. Propuesto por Vlad Matei, Rumania

3 Encuentre la solución de la ecuación $8x(2x^2-1)(8x^4-8x^2+1)=1$ en el intervalo $[0,1]$.

Dados los primeros $1000000000$ números naturales. Reemplazamos cada número por la suma de sus dígitos y repetimos este procedimiento hasta que queden $1000000000$ números de un solo dígito. ¿Hay más " $1$ " -s o " $2$ " -s?

2 Dado un círculo $C$ y un punto $P$ en su exterior, se trazan dos tangentes al círculo que pasan por $P$, siendo $A$ y $B$ los puntos de tangencia. Tomamos un punto $Q$ en el arco menor $AB$ de $C$. Sea $M$ la intersección de $AQ$ con la recta perpendicular a $AQ$ que pasa por $P$, y sea $N$ la intersección de $BQ$ con la recta perpendicular a $BQ$ que pasa por $P$. Demuestre que, al variar $Q$ en el arco menor $AB$, todas las rectas $MN$ pasan por el mismo punto.

7 Sea $a_1,a_2,a_3,\cdots$ la sucesión de enteros positivos tal que $$a_1=1 , a_{k+1}=a^3_k+1, $$ para todo entero positivo $k.$ Demuestre que para todo número primo $p$ de la forma $3l +2,$ donde $l$ es un entero no negativo, existe un entero positivo $n$ tal que $a_n$ es divisible por $p.$

2 Sea $P(x)$ un polinomio de grado $n\geq 2$ con coeficientes racionales tal que $P(x)$ tiene $n$ raíces reales distintas que forman una progresión aritmética. Demuestre que entre las raíces de $P(x)$ hay dos que también son raíces de algún polinomio de grado $2$ con coeficientes racionales.

042 Demuestre que para ningún natural $m$ un número $m(m+1)$ es una potencia de un entero.