2 Sea $P(x)$ un polinomio de grado $n\geq 2$ con coeficientes racionales tal que $P(x)$ tiene $n$ raíces reales distintas que forman una progresión aritmética. Demuestre que entre las raíces de $P(x)$ hay dos que también son raíces de algún polinomio de grado $2$ con coeficientes racionales.

1 Determine seis números naturales diferentes $a, b_1, b_2, c_1, c_2$ y $c_3$ con $$a (b_1 + b_2) (c_1 + c_2 + c_3) = 1978$$ tales que $M = ab_1b_2c_1c_2c_3$ sea mínimo.

1 Para un entero positivo $n$, denotamos por $P_0(n)$ el producto de todos los dígitos distintos de cero de $n$. Sea $N_0$ el conjunto de todos los enteros positivos $n$ tales que $P_0(n)|n$. Encuentre el mayor valor posible de $\ell$ tal que $N_0$ contenga infinitas sucesiones de $\ell$ enteros consecutivos. Propuesto por Navid Safaei, Irán.

3 Sea $n$ un entero positivo. Llamamos $C_n$ al número de enteros positivos $x$ menores que $10^n$ tales que la suma de los dígitos de $2x$ es menor que la suma de los dígitos de $x$. Demuestre que $C_n\geq\frac{4}{9}(10^{n}-1)$.

3 Encuentre todos los pares ordenados $(a,b)$ de enteros positivos para los cuales los números $\dfrac{a^3b-1}{a+1}$ y $\dfrac{b^3a+1}{b-1}$ son ambos enteros positivos.

8 Un entero $n$ se llama silesiano si existen enteros positivos $a, b$ y $c$ tales que $$n=\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}.$$ $(a)$ Demuestre que existen infinitos enteros silesianos. $(b)$ Demuestre que no todo entero positivo es silesiano.

041 Las dos alturas en el triángulo no son menores que los lados respectivos. Encuentre los ángulos.

1 Encuentre el número máximo de celdas que pueden ser coloreadas en un tablero de $4\times 3000$ de tal manera que no se forme ningún tetrominó. Propuesto por Arian Zamani, Matin Yousefi. Clasificación 5

004 Dada una tabla $4\times 4$. a) Encuentre cómo se pueden colocar $7$ estrellas en sus casillas de tal manera que al borrar dos filas y dos columnas arbitrarias siempre quede al menos una de las estrellas. b) Demuestre que si hay menos de $7$ estrellas, siempre se pueden encontrar dos columnas y dos filas tales que, si se borran, no quede ninguna estrella en la tabla.

3 Encuentre todos los $ a, b, c \in \mathbb{Z} $ , $ c \ge 0 $ tales que $ a^n + 2^n | b^n + c $ para todo entero positivo $ n $ donde $ 2ab $ no es un cuadrado.