2 Sean $P_{1}(x)=x^{2}-2$ y $P_{j}(x)=P_{1}(P_{j-1}(x))$ para j $=2,\ldots$ Demuestre que para todo entero positivo n las raíces de la ecuación $P_{n}(x)=x$ son todas reales y distintas.

4 Sobre los lados del triángulo \(ABC\), se construyen tres triángulos isósceles semejantes \(ABP \ (AP = PB)\), \(AQC \ (AQ = QC)\) y \(BRC \ (BR = RC)\). Los dos primeros se construyen externamente al triángulo \(ABC\), pero el tercero se coloca en el mismo semiplano determinado por la recta \(BC\) que el triángulo \(ABC\). Demuestra que \(APRQ\) es un paralelogramo. Amir

5 Considera el conjunto de todas las sucesiones estrictamente decrecientes de $n$ números naturales que tienen la propiedad de que en cada sucesión ningún término divide a otro término de la sucesión. Sean $A = (a_j)$ y $B = (b_j)$ dos sucesiones cualesquiera de este tipo. Decimos que $A$ precede a $B$ si para algún $k$, se tiene $a_k < b_k$ y $a_i = b_i$ para $i < k$. Encuentra los términos de la primera sucesión del conjunto bajo este orden. Amir

6 Supón que ${x_1, x_2, \dots , x_n}$ son enteros positivos tales que $x_1 + x_2 + \cdots+ x_n = 2(n + 1)$. Muestra que existe un entero $r$ con $0 \leq r \leq n - 1$ para el cual se cumplen las siguientes $n - 1$ desigualdades: \[x_{r+1} + \cdots + x_{r+i} \leq 2i+ 1, \qquad \qquad \forall i, 1 \leq i \leq n - r; \] \[x_{r+1} + \cdots + x_n + x_1 + \cdots+ x_i \leq 2(n - r + i) + 1, \qquad \qquad \forall i, 1 \leq i \leq r - 1.\] Prueba que si todas las desigualdades son estrictas, entonces $r$ es único y que, en caso contrario, hay exactamente dos $r$ de este tipo.

4 Demuestre que el conjunto de los enteros positivos no puede ser particionado en tres subconjuntos no vacíos tales que, para cualesquiera dos enteros $x,y$ tomados de dos subconjuntos distintos, el número $x^2-xy+y^2$ pertenezca al tercer subconjunto.

7 Sea $a$ un entero positivo y sea $\{a_n\}$ definida por $a_0 = 0$ y \[a_{n+1 }= (a_n + 1)a + (a + 1)a_n + 2 \sqrt{a(a + 1)a_n(a_n + 1)} \qquad (n = 1, 2 ,\dots ).\] Demuestra que para cada entero positivo $n$, $a_n$ es un entero positivo. Amir

En una prueba, participan $3n$ estudiantes, quienes están ubicados en tres filas de $n$ estudiantes cada una. Los estudiantes salen del salón de examen uno por uno. Si $N_1(t), N_2(t), N_3(t)$ denotan los números de estudiantes en la primera, segunda y tercera fila respectivamente en el tiempo $t$, encuentra la probabilidad de que para cada $t$ durante la prueba, \[|N_i(t) - N_j(t)| < 2, i \neq j, i, j = 1, 2, \dots .\] Amir

9 Sean \( a \), \( b \) y \( c \) las longitudes de los lados de un triángulo. Demuestra que \[ a^{2}b(a - b) + b^{2}c(b - c) + c^{2}a(c - a)\ge 0. \] Determina cuándo ocurre la igualdad.

10 Sean $p$ y $q$ enteros. Demuestra que existe un intervalo $I$ de longitud $1/q$ y un polinomio $P$ con coeficientes enteros tal que \[ \left|P(x)-\frac pq \right| < \frac{1}{q^2}\] para todo $x \in I.$ Amir

34 Demuestre la identidad \[ 1 + \frac{1}{2} - \frac{2}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{2}{6} + \ldots + \frac{1}{478} + \frac{1}{479} - \frac{2}{480} = 2 \cdot \sum^{159}_{k=0} \frac{641}{(161+k) \cdot (480-k)}.\]