1 Un cuadrilátero convexo $ABCD$ tiene diagonales perpendiculares. Las mediatrices de los lados $AB$ y $CD$ se cortan en un único punto $P$ dentro de $ABCD$. Demuestra que el cuadrilátero $ABCD$ es cíclico si y solo si los triángulos $ABP$ y $CDP$ tienen áreas iguales.

2 En un concurso, hay $m$ candidatos y $n$ jueces, donde $n\geq 3$ es un entero impar. Cada candidato es evaluado por cada juez como aprobado o reprobado. Supón que cada par de jueces coincide en a lo más $k$ candidatos. Demuestra que \[{\frac{k}{m}} \geq {\frac{n-1}{2n}}. \]

3 Para cualquier entero positivo $n$, sea $\tau (n)$ el número de sus divisores positivos (incluyendo 1 y él mismo). Determina todos los enteros positivos $m$ para los cuales existe un entero positivo $n$ tal que $\frac{\tau (n^{2})}{\tau (n)}=m$.

4 Determina todos los pares $(x,y)$ de enteros positivos tales que $x^{2}y+x+y$ es divisible por $xy^{2}+y+7$.

5 Sea $I$ el incentro del triángulo $ABC$. Sean $K$, $L$ y $M$ los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita de $ABC$ con $AB$, $BC$ y $CA$, respectivamente. La recta $t$ pasa por $B$ y es paralela a $KL$. Las rectas $MK$ y $ML$ intersecan a $t$ en los puntos $R$ y $S$. Demuestra que $\angle RIS$ es agudo.

6 Determina el menor valor posible de \(f(1998)\), donde \(f:\Bbb{N}\to \Bbb{N}\) es una función tal que para todos \(m,n\in {\Bbb N}\), \[f\left( n^{2}f(m)\right) =m\left( f(n)\right) ^{2}.\]

1 Sea $A_1$ el centro del cuadrado inscrito en el triángulo acutángulo $ABC$ con dos vértices del cuadrado sobre el lado $BC$. Así, uno de los dos vértices restantes del cuadrado está sobre el lado $AB$ y el otro sobre $AC$. Los puntos $B_1,\ C_1$ se definen de manera similar para los cuadrados inscritos con dos vértices sobre los lados $AC$ y $AB$, respectivamente. Demuestra que las rectas $AA_1,\ BB_1,\ CC_1$ son concurrentes.

2 Considera un triángulo acutángulo \(ABC\). Sea \(P\) el pie de la altura del triángulo \(ABC\) trazada desde el vértice \(A\), y sea \(O\) el circuncentro del triángulo \(ABC\). Supón que \(\angle C \geq \angle B+30^{\circ}\). Demuestra que \(\angle A+\angle COP < 90^{\circ}\).

3 Sea $ABC$ un triángulo con baricentro $G$. Determina, con demostración, la posición del punto $P$ en el plano de $ABC$ tal que $AP{\cdot}AG + BP{\cdot}BG + CP{\cdot}CG$ sea mínimo, y expresa este valor mínimo en términos de las longitudes de los lados de $ABC$.

41 Sea $ f(x) = a \sin^2x + b \sin x + c,$ donde $ a, b,$ y $ c$ son números reales. Halle todos los valores de $ a, b$ y $ c$ tales que las siguientes tres condiciones se satisfacen simultáneamente: (i) $ f(x) = 381$ si $ \sin x = \frac{1}{2}.$ (ii) El máximo absoluto de $ f(x)$ es $ 444.$ (iii) El mínimo absoluto de $ f(x)$ es $ 364.$