3 Sea el incírculo del $\triangle ABC$ tangente a los lados $BC$, $CA$ y $AB$ en los puntos $D$, $E$ y $F$, respectivamente. Sea $D'$ el punto diametralmente opuesto a $D$ con respecto al incírculo. Sean las rectas $AD'$ y $AD$ que intersecan al incírculo nuevamente en $X$ e $Y$, respectivamente. Demuestre que las rectas $DX$, $D'Y$ y $EF$ son concurrentes, es decir, que las rectas se intersecan en el mismo punto. (Kritesh Dhakal, Nepal)

6 Demuestre que si $a, b, c$ son las longitudes de los lados de un triángulo y si $2S = a + b + c$, entonces \[\frac{a^n}{b+c} + \frac{b^n}{c+a} +\frac{c^n}{a+b} \geq \left(\dfrac 23 \right)^{n-2}S^{n-1} \quad \forall n \in \mathbb N \] Propuesto por Grecia. Amir

3 En un hexágono convexo $AC'BA'CB'$, cada dos lados opuestos son iguales. Sea $A_1$ el punto de intersección de $BC$ con la mediatriz de $AA'$. Defina $B_1$ y $C_1$ de manera similar. Demuestre que $A_1$, $B_1$ y $C_1$ son colineales.

2 Dados enteros positivos $m$ y $n \ge m$, determine el mayor número de dominós (rectángulos de $1 \times 2$ o $2 \times 1$) que pueden colocarse en un tablero rectangular con $m$ filas y $2n$ columnas compuesto por celdas (cuadrados de $1 \times 1$) de modo que: (i) cada dominó cubra exactamente dos celdas adyacentes del tablero; (ii) no haya dos dominós que se superpongan; (iii) no haya dos que formen un cuadrado de $2 \times 2$; y (iv) la fila inferior del tablero esté completamente cubierta por $n$ dominós.

1 Sea $ABC$ un triángulo y sea $D$ un punto en el segmento $BC$, $D\neq B$ y $D\neq C$. El círculo $ABD$ corta al segmento $AC$ nuevamente en un punto interior $E$. El círculo $ACD$ corta al segmento $AB$ nuevamente en un punto interior $F$. Sea $A'$ la reflexión de $A$ en la recta $BC$. Las rectas $A'C$ y $DE$ se cortan en $P$, y las rectas $A'B$ y $DF$ se cortan en $Q$. Demuestre que las rectas $AD$, $BP$ y $CQ$ son concurrentes (o todas paralelas).

1 Un círculo tiene su centro en el lado $AB$ del cuadrilátero cíclico $ABCD$. Los otros tres lados son tangentes al círculo. Demuestre que $AD+BC=AB$.

3 En un cuadrilátero convexo $ABCD$, $P$ y $Q$ son puntos en los lados $BC$ y $DC$ tales que $B\hat{A}P = D\hat{A}Q$. Si la recta que pasa por los ortocentros de $\triangle ABP$ y $\triangle ADQ$ es perpendicular a $AC$, demuestre que las áreas de estos triángulos son iguales.

8 Sea $k$ un entero positivo y $a_1,a_2,\dots$ una sucesión infinita de enteros positivos tal que \[a_ia_{i+1} \mid k-a_i^2\] para todo entero $i \ge 1$. Demuestre que existe un entero positivo $M$ tal que $a_n=a_{n+1}$ para todo entero $n \ge M$.

4 Dado un conjunto $M$ de $1985$ enteros positivos distintos, ninguno de los cuales tiene un divisor primo mayor que $23$, demuestre que $M$ contiene un subconjunto de $4$ elementos cuyo producto es la cuarta potencia de un entero.

17 Demuestre que existe una coloración con cuatro colores del conjunto $M = \{1, 2, \cdots, 1987\}$ tal que ninguna progresión aritmética de $10$ términos en el conjunto $M$ sea monocromática. Formulación alternativa: Sea $M = \{1, 2, \cdots, 1987\}$. Demuestre que existe una función $f : M \to \{1, 2, 3, 4\}$ que no es constante en ningún conjunto de $10$ términos de $M$ que formen una progresión aritmética. Propuesto por Rumania Amir