15 Sean $x_1,x_2,\ldots,x_n$ números reales que satisfacen $x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2=1$. Demuestre que para todo entero $k\ge2$ existen enteros $a_1,a_2,\ldots,a_n$, no todos nulos, tales que $|a_i|\le k-1$ para todo $i$, y $|a_1x_1+a_2x_2+\ldots+a_nx_n|\le{(k-1)\sqrt n\over k^n-1}$. (Problema 3 de la IMO) Propuesto por Alemania, FR Amir

4 Sea $ABCDEFGH$ un paralelepípedo con $AE \parallel BF \parallel CG \parallel DH$. Demuestre la desigualdad \[AF + AH + AC \leq AB + AD + AE + AG.\] ¿En qué casos se cumple la igualdad? Propuesto por Francia. Amir

13 ¿Es posible colocar $1987$ puntos en el plano euclidiano de tal manera que la distancia entre cada par de puntos sea irracional y cada tres puntos determinen un triángulo no degenerado con área racional? (Problema 5 de la IMO) Propuesto por Alemania, DR Amir

2 Sea $ABC$ un triángulo con $AC>AB$, y denotemos su circuncírculo por $\Omega$ y su incentro por $I$. Sea que su incírculo corta a los lados $BC,CA,AB$ en $D,E,F$ respectivamente. Sean $X$ e $Y$ dos puntos en los arcos menores $\widehat{DF}$ y $\widehat{DE}$ del incírculo, respectivamente, tales que $\angle BXD = \angle DYC$. Sea $K$ el punto de intersección de la recta $XY$ con la recta $BC$. Sea $T$ el punto en $\Omega$ tal que $KT$ es tangente a $\Omega$ y $T$ está en el mismo lado de la recta $BC$ que $A$. Demuestre que las rectas $TD$ y $AI$ se cortan en $\Omega$. Tommy Walker Mackay, Reino Unido

4 Sea $P(n)$ un trinomio cuadrático con coeficientes enteros. Para cada entero positivo $n$, el número $P(n)$ tiene un divisor propio $d_n$, es decir, $1<d_n<P(n)$, tal que la sucesión $d_1,d_2,d_3,\ldots$ es creciente. Demuestre que $P(n)$ es el producto de dos polinomios lineales con coeficientes enteros o todos los valores de $P(n)$, para enteros positivos $n$, son divisibles por el mismo entero $m>1$.

1 Encuentre una forma de escribir todos los dígitos del $1$ al $9$ en una sucesión y sin repetición, de tal manera que los números determinados por cualesquiera dos dígitos consecutivos de la sucesión sean divisibles por $7$ o $13$.

5 Encuentre todas las cuádruplas de enteros positivos $(k,a,b,c)$ tales que $2^k=a!+b!+c!$ y $a\geq b\geq c$.

10 Sean $S_1$ y $S_2$ dos esferas con radios distintos que se tocan externamente. Las esferas se encuentran dentro de un cono $C$, y cada esfera toca al cono en un círculo completo. Dentro del cono hay $n$ esferas sólidas adicionales dispuestas en un anillo de tal manera que cada esfera sólida toca al cono $C$, a ambas esferas $S_1$ y $S_2$ externamente, así como a las dos esferas sólidas vecinas. ¿Cuáles son los valores posibles de $n$? Propuesto por Islandia. Amir

2 Demuestre que para todo entero $n$ distinto de cero, existen infinitas ternas de enteros distintos de cero $a, b$ y $c$ que satisfacen las condiciones: 1. $a + b + c = n$ 2. $ax^2 + bx + c = 0$ tiene raíces racionales.

4 Una sucesión finita $x_1,\dots,x_r$ de enteros positivos es un palíndromo si $x_i=x_{r+1-i}$ para todo entero $1 \le i \le r$. Sea $a_1,a_2,\dots$ una sucesión infinita de enteros positivos. Para un entero positivo $j \ge 2$, denotamos por $a[j]$ la subsecuencia finita $a_1,a_2,\dots,a_{j-1}$. Suponga que existe una sucesión infinita estrictamente creciente $b_1,b_2,\dots$ de enteros positivos tal que para todo entero positivo $n$, la subsecuencia $a[b_n]$ es un palíndromo y $b_{n+2} \le b_{n+1}+b_n$. Demuestre que existe un entero positivo $T$ tal que $a_i=a_{i+T}$ para todo entero positivo $i$.